«Доводиться бігти з усіх ніг лише для того, щоб залишитися на тому самому місці. Якщо хочеш потрапити в інше місце, потрібно бігти вдвічі швидше…» Льюіс. - презентация

1 «Доводиться бігти з усіх ніг лише для того, щоб залишитися на тому самому місці. Якщо хочеш потрапити в інше місце, потрібно бігти вдвічі швидше…» Льюіс Керол Казка «Аліса у країні чудес»

2 УРОК АЛГЕБРИ « ЗАСТОСУВАННЯ ІНТЕГРАЛА ». (11 клас Академічний рівень.)

3 1. Засвоїти поняття інтегралу 2Сформування вмінння і навички застосовувати інтеграл до обчислення площ плоских фігур. 3Формувати і розвивати вміння застосовувати інтеграл для вирішення завдань в геометрії, фізики, логічне і абстрактне мислення, математичну мову, навички організаційної роботи на уроці, робити висновки, вести евристичну бесіду. 4. Виховувати увагу, вміння організовувати свою роботу на уроці, самооцінку і самоконтроль. 5.Виховувати культуру побудови графіків функцій.

4 2х Знайти похідну : sin 2x 2 3 ln x 2 cos 2x

5 Знайти первісну: ln x sin 2x

6

7

8 Означення Фігура, обмежена графіком функції F віссю Ох і прямими х = а та х = Ь. називається криволінійною трапецією ab y y=f(x)

9 Криволінійна трапеція

10 Теорема Якщо f-неперервна і невідємна на [а, b] функція, а F-її первісна на цьому відрізку, то площа S відповідної криволінійної трапеції дорівнює приросту первісної на відрізку [а, Ь], тобто S=F(b)-F(a)

11 у х Розглядаючи неперервну функцію у = F (х), неотрицательную на відрізку [а, в], відрізок [а, в] розбиваємо на п рівних частин точками а = х0 <х1 <х2 <... <хk-1 <хk <... <хn = в Довжина кожного відрізка дорівнює Δх. Побудуємо на кожному відрізку прямокутники. Площа кожного прямокутника дорівнює F (хк-1) Δх. Знайдемо суму цих площ. Sn = F (х0) Δх + F (х1) Δх F (хп-1) Δх. Обчислимо. Ця границя називається інтегралом функції у = F (X) від а до в і позначають. 0 а в У=f(x)

12 Числа а і в називають межами інтегрування: а-нижня межу, в - верхня межа, функцію у = f (х) - підінтегральна функція, вираз f (х) dх – підінтегральний вираз, змінну х - змінною інтегрування Таким чином

13 Визначений інтеграл – формула Ньютона-Лейбніца. Геометричний зміст визначеного інтеграла полягає в тому, що визначений інтеграл дорівнює площі криволінійної трапеції, утвореної лініями: зверху обмеженою кривою у = f (х), і прямими у = 0, х = а, х = b.

14 Визначений інтеграл

15 Обчислення визначеного інтегралу

16 Обчисліть інтеграл

17 З усмішки, з потиску рук, з брехні, убитої наповал, історія - найскладніша з наук - обчислює ЗОРЯНИЙ ІНТЕГРАЛ. Ліна Костенко 17

18 Знаходження площі криволінійної трапеції, обмеженої графіком ДВОХ НЕПЕРЕРВНИХ ФУНКЦІЙ Існує багато випадків. Розглянемо деякі з них

19 Площа криволінійної трапеції ab x y y = f(x) 0 AB C D x = ax = b y = 0

20 Розвязуємо разом Обчислити площу трикутника, обмеженого віссю ОХ, прямими х = 6 і у = 2х. 6 0 у х У=2х

21 Площа криволінійної трапеції abx y y = f(x) 0 AB C D x = a x = b y = 0

22 a a b bx y y = f(x) 0 y = g(x) AB C D M P Площа криволінійної трапеції

23 a a b bx y y = f(x) 0 y = g(x) AB C D M P Площа криволінійної трапеції

24 Приклад 1: Обчислити площу фігури, обмеженої лініями y = x 2, y = x + 2. x y y = x 2 y = x A B O D C 2

25 a a b bx y y = f(x) 0 y = g(x) A BC D с с Е Площа криволінійної трапеції

26 Приклад 2: x y = (x – 2) 2 0 ABC D 4 4 y y = 2 8 – x 4 4 Обчислити площу фігури обмеженої лініями y = (x – 2) 2, y = 2 8 – x, х = 2, х = 8, у = 0

27 Приклад 2: Обчислити площу фігури обмеженої лініями y = (x – 2) 2, y = 2 8 – x, х = 2, х = 8, у = 0

28 Запишіть площу заштрихованих фігур як суму або різницю площ криволінійних трапецій, обмежених графі­ками відомих функцій.

29

30 Обчислення площ за допомогою інтегралів. ab y x y=f(x) y = 0 x = a x = b

31 Обчислення площ за допомогою інтегралів. y x y=f(x) a bc y=g(x) + y = f (x) y = g (x) y = 0

32 Обчислення площ за допомогою інтегралів. y x y=f(x) a b y = 0 x = a x = b

33 y x y=f(x) ab y=g(x) - = y = f (x) y = g (x) Обчислення площ за допомогою інтегралів.

34 Обчисліть площі плоских фігур, обмежених лініями: 1)у=х², у=4 2)у=х³, віссю Ох і прямою х=2 3)параболою у=1-х² і віссю Ох 4)параболою у=х² і прямою у=х+1 5)графіком функції у= -х²+4 і прямою х+у=4 6)графіками функцій у= -х²+2х+8, у=х²+2х+2 7)параболою у=х²+1 і прямою 5х+3у-25=0 8)лініями у=0, у= -х²+3, х=1, х=1,5 9)кривою у=х³ і прямими у=1, х=-2 10)прямою у=х і параболою у=2-х² 11)лініями у=(х+1)² и у=4-х 12)параболою у=х²+2х-8 і віссю Ох.

35 Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями: а) у = х 2 ; у = 2х 2 – 1 б) у = х 2 - 2х + 2, у = 2 + 4х - х 2 в) y = sinx, y = cosx, г) у = x 2 - 2х + 3, x + у = 5, д) у =, y =, у = 0.