Белорусский государственный университет Кафедра дифференциальных уравнений и системного анализа Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических. - презентация

1 Белорусский государственный университет Кафедра дифференциальных уравнений и системного анализа Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление» Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности «Дифференциальные уравнения, динамические системы и оптимальное управление»

2 Диссертант: Малышева Ольга Николаевна Диссертант: Малышева Ольга Николаевна Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Черкас Леонид Антонович Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Черкас Леонид Антонович

3 Оглавление Объект и предмет исследования Цель исследования Задачи исследования Научная новизна Положения, выносимые на защиту Актуальность Сфера применения

4 Актуальность При качественном исследовании автономных систем на плоскости наиболее трудной является задача оценки максимального числа предельных циклов и их взаимного расположения (вторая часть шестнадцатой проблемы Гильберта). Важную роль приобретают частные признаки, при помощи которых можно судить о наличии или отсутствии предельных циклов хотя бы для отдельных классов динамических систем на плоскости. Исследования проводятся в соответствии с Государственной программой фундаментальных исследований «Конвергенция», задание «Конструктивные качественные и аналитические методы исследования моделей некоторых классов нелинейных динамических систем и нелинейных эволюционных уравнений».

5 Предмет: Предельные циклы систем Льенара, квадратичных систем и отдельных классов кубических систем. Объект: Полиномиальные системы автономных дифференциальных систем на плоскости: системы Льенара, квадратичные системы, отдельные классы кубических систем. Исследование

6 Цель исследования Разработка эффективного конструктивного метода оценки числа предельных циклов с учетом их взаимного расположения для параметрических семейств систем Льенара, квадратичных и отдельных классов кубических систем.

7 Задачи исследования Разработать алгебраический алгоритм для оценки числа предельных циклов с учетом их взаимного расположения при возмущении индивидуальной системы, имеющей особую точку типа центр и применить его к системам Льенара, квадратичным и кубическим системам. Построить конкретные системы Льенара, квадратичные и кубические системы с заданными распределениями предельных циклов. Построить набор исследуемых систем, для которых доказывается точность полученных распределений предельных циклов при помощи построения функции Дюлака-Черкаса. Распространить метод обобщенных функций Дюлака на системы с цилиндрическим фазовым пространством.

8 Положения, выносимые на защиту

9 Положения, выносимые на защиту 2 1. Разработка алгебраического алгоритма оценки числа предельных циклов и их локализации систем Льенара и квадратичных систем. 2. Разработка алгоритма построения систем Льенара, квадратичных систем, систем Абеля с различными распределениями предельных циклов. 3. Точная оценка числа предельных циклов некоторых параметрических семейств систем Льенара, квадратичных систем с помощью построения функции Дюлака-Черкаса. 4. Построение эффективных методов аппроксимации предельных циклов некоторых параметрических систем Льенара.

10 Научная новизна Разработан метод оценки числа предельных циклов и их локализации некоторых возмущенных квадратичных гамильтоновых систем.

11 Сфера применения Диссертация носит теоретический характер. Результаты работы могут быть использованы при исследовании нелинейных динамических систем, в теории нелинейных колебаний, биофизике и других приложениях качественной теории. Они также могут найти применение при чтении спецкурсов по качественной теории дифференциальных уравнений.

12