567 Докажите, что середины сторон произвольного четырех – угольника являются вершинами параллелограмма. A B C D Q M N P Дано: ABCD – произвольный четырехуголь- - презентация

1 567 Докажите, что середины сторон произвольного четырех – угольника являются вершинами параллелограмма. A B C D Q M N P Дано: ABCD – произвольный четырехугольник, M, N, P, Q – середины сторон. Доказать: MNPQ – параллелограмм. Доказательство. 1 способ 1. Дополнительное построение: AC. ABC и ADC, AC – общее основание. AC DAB и BCD, BD – общее основание. BD 2. Дополнительное построение: BD. 3. MNPQ – параллелограмм (по определению).

2 567 Докажите, что середины сторон произвольного четырех – угольника являются вершинами параллелограмма. A B C D Q M N P Дано: ABCD – произвольный четырехугольник, M, N, P, Q – середины сторон. Доказать: MNPQ – параллелограмм. Доказательство. 2 способ 1. Дополнительное построение: AC. ABC и ADC, AC – общее основание. AC = AC : 2 = 2. = MNPQ – параллелограмм (по 1 признаку).

3 567 Докажите, что середины сторон произвольного четырех – угольника являются вершинами параллелограмма. A B C D Q M N P Дано: ABCD – произвольный четырехугольник, M, N, P, Q – середины сторон. Доказать: MNPQ – параллелограмм. Доказательство. 3 способ 1. Дополнительное построение: AC. ABC и ADC, AC – общее основание. = AC :2 = DAB и BCD, BD – общее основание. = BD : 2 2. Дополнительное построение: BD. = 3. = = MNPQ – параллелограмм (по 2 признаку).

4 568 Докажите, что четырехугольник есть ромб, если его вершинами являются середины сторон: а) прямоугольника, б) равнобедренной трапеции. D A B C K M N Дано: ABCD – прямоугольник, K,L,M,N – середины сторон. Доказать: KLMN – ромб. Доказательство. 1. Дополнительное построение: AC. ABC и ADC: AC – общая сторона, KL AC и MN AC KL MN; KL = ½ AC и MN = ½ AC KL= MN. 2. Дополнительное построение: BD. ABD и BCD: BD – общая сторона, LM BD и KN BD LM KN, LM = ½ BD и KN = ½ BD LM = KN. 3. KL MN, LM KN и KL= MN, LM = KN KLMN – ромб (по определению). 3. AC = BD KL = LM = MN = NK KLMN – ромб (по определению). L