Овчинцев Евгений ИФО 3-2 Применение метода конформных преобразований к уравнениям математической физики. - презентация

1 Овчинцев Евгений ИФО 3-2 Применение метода конформных преобразований к уравнениям математической физики

2 Введение Функция называется гармонической, если : 1. Существуют частные производные до второго порядка включительно. 2. Все они непрерывны. 3. Она удовлетворяет уравнению Лапласа :

3 Методы функции комплексного переменного Если комплексная функция имеет первую производную в области G 1. Она бесконечное число раз дифференцируема. 2. Все эти производные непрерывны и

4 О сохранении гармоничности функции при конформном отображении. - конформное отображение области G на область G. является взаимно однозначным отображением.

5 О сохранении гармоничности функции при конформном отображении. Пусть – некоторая гармоническая функция, заданная внутри области,,.

6 О сохранении гармоничности функции при конформном отображении. Тогда частные производные от функции : Следовательно, вторые частные производные от нее же :

7 О сохранении гармоничности функции при конформном отображении. Сложим : Получим : В силу условий Коши - Римана :

8 О сохранении гармоничности функции при конформном отображении. Из получившихся соотношений следует : Т. к. Т. е. – гармоническая функция в.

9 Задача Дирихле Найти функцию, удовлетворяющую условиям : где – заданная непрерывная функция на границе области.

10 Задача Дирихле Теорема : « Решение задачи Дирихле существует и притом единственно ».

11 Практическая задача Труба радиуса r помещена на заданной глубине. Найти установившееся распределение температуры в почве, если на поверхности земли она равна нулю, а температура трубы ( рис.1).

12 Практическая задача – температура земли в точке. – гармоническая функция. Для нее должно выполняется уравнение и она должна удовлетворять граничным условиям

13 Практическая задача Докажем, что область отображается на кольцо дробно - линейной функцией : 1. Известно, что дробно - линейная функция обладает круговым свойством. 2. Известно, что при дробно - линейном отображении точки симметричные переходят в точки, симметричные по отношению к образу кривой.

14 Практическая задача Отобразим область G конформно на круговое кольцо : ( рис.2) В кольце получили задачу Дирихле :

15 Практическая задача. Решение задачи Дирихле Такая функция - гармоническая. Для выполняются граничные условия : 1. 2.

16 Решение практической задачи Найдем на оси две точки ( рис.3) такие, что они являются симметричными и для оси и для окружности одновременно.

17 Решение практической задачи Рассмотрим дробно-линейное отображение : Подставим в него : Докажем, что эта функция отображает область на круговое кольцо :

18 Решение практической задачи – ось. Пусть. Тогда То есть, и, значит, образом оси является окружность.

19 Решение практической задачи Найдем образ окружности. Ее образом будет окружность с центром в точке. Таким образом область отображается на круговое кольцо. Найдем. Образом точки будет точка, лежащая на окружности. Следовательно :

20 Решение практической задачи Решение нашей основной задачи имеет вид : Перейдя к переменным и, получим : где

21 Рассмотрим конкретный пример Пусть a=2, h=4, а T=10. Тогда А график этой функции имеет вид :

22 Заключение 1. Методом конформных отображений можно решать и другие задачи, базирующиеся на гармонических функциях, переходя конформно к более простому и известному виду. 2. Этим методом можно решать задачи в картографии, электростатике, механике сплошных сред ( гидро - и аэромеханика, газовая динамика, теория упругости, теория пластичности и др. )