Предел числовой последовательности. 24.07.2015. Число b называют пределом последовательности, если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся. - презентация

1 Предел числовой последовательности

2 Число b называют пределом последовательности, если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера. Пишут: или Определение предела последовательности.

3 Возьмём интервал (br 1 ;b+r 1 ), т. е., окрестность точки b; r 1 радиус этой окрестности (r 1 >0). Существует номер n 1 начиная с которого вся последовательность содержится в указанной окрестности: y n1 (br 1 ;b+r 1 ),y n1 +1 (br 1 ;b+r 1 ), y n1 +2 (br 1 ;b+r 1 ) и т.д. Окрестностью точки b радиуса r 1 является интервал (br 1 ;b+r 1 ), (r 1 >0).

4 Дана последовательность (y n ): Доказать, что Решение. Возмём любую окрестность точки 0, пусть её радиус равен r. Ясно, что всегда можно подобрать натуральное число n 0, так чтобы выполнялось неравенство 1/n 0

5 Построим график последовательности y n =1/n, который состоит из точек с абсциссами 1,2,3,4,..., лежащих на ветви гиперболы y=1/x. Так как, то прямая y=0 является горизонтальной асимптотой графика функции y=1/x, x N.

6 Свойство 1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу. Свойство 2. Если последовательность сходится, то она ограничена. Свойство 3. (Теорема Вейерштрасса) Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится. Свойство 1. Если последовательность сходится, то только к одному пределу. Свойство 2. Если последовательность сходится, то она ограничена. Свойство 3. (Теорема Вейерштрасса) Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится. Свойства сходящихся последовательностей

7 Классический пример из геометрии, в котором используется теорема Вейерштрасса. Возьмем окружность и будем последовательно вписывать в нее правильные многоугольники: 4-угольник, 8-угольник, 16-угольник и т. д. Последовательность площадей этих правильных многоугольников возрастает и ограничена (снизу числом 0, а сверху, например, числом, выражающим площадь описанного около окружности квадрата). Значит, построенная последовательность сходится, ее предел принимается за площадь круга. Именно с помощью таких рассуждений и получена в математике формула площади кругаS=πr^2.

8 Рассмотрим последовательность: – гармонический ряд Если q< 1, то Если q> 1, то последовательность у n = q n расходится Если m N, k R, то

9 Свойства пределов Если,, то 3. предел частного равен частному пределов: 2. предел произведения равен произведению пределов: 1. предел суммы равен сумме пределов: 4. постоянный множитель можно вынести за знак предела:

10 Примеры: