ЕГЭ-2013. Задачи типа С 2 Задание С 2 ЕГЭ. Угол между плоскостями. Координатный метод решения стереометрических задач типа С 2. - презентация

1 ЕГЭ Задачи типа С2 Задание С2 ЕГЭ. Угол между плоскостями. Координатный метод решения стереометрических задач типа С2.

2 1. Уравнение плоскости имеет вид ax+by+cz+d=0 В этом уравнении плоскости коэффициенты – координаты вектора нормали к плоскости (то есть вектора, перпендикулярного плоскости).

3 Угол между плоскостями Величина двугранного угла измеряется величиной соответствующего линейного угла. Чтобы построить линейный угол двугранного угла, нужно взять на линии пересечения плоскостей произвольную точку, и в каждой плоскости провести к этой точке луч перпендикулярно линии пересечения плоскостей. Угол, образованный этими лучами и есть линейный угол двугранного угла:

4 Величиной угла между плоскостями называется величина меньшего двугранного угла. Пусть плоскости и заданы уравнениями: Косинус угла между плоскостями находится по такой формуле: В ответе мы записываем, так как величиной угла между плоскостями называется величина меньшего двугранного угла.

5 Задача (ЕГЭ-2012). В правильной четырехугольной призме со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре взята точка М так, что AM=8. На ребре взята точка K так, что. Найдите угол между плоскостью и плоскостью.

6 Решение. Запишем координаты точек: М(0;0;13),К(12;0;8), Подставим их в систему уравнений: Отсюда: С= -1/13, В= -1/12, А= -5/(12 х 13). Подставим найденные коэффициенты в уравнение плоскости:

7 Подставим их в формулу для нахождения косинуса угла между плоскостями, и найдем угол:

8 Задача (ЕГЭ,2011). В единичном кубе АВСDA 1 В 1 С 1 D 1 найдите угол между плоскостями АD 1 Е и D 1 FC, где точки Е и F- середины ребер А 1 В 1 и В 1 С 1 соответственно. Решение. Введём прямоугольную систему координат. Тогда А(0;0;0), С(1;1;0), D 1 (1;0;1), E(0;0,5;1), F(0,5;1;1). 1)Решая систему составляем уравнение плоскости (АD 1 E): x+2y-z=0. 2) плоскость CFD 1 : отсюда находим уравнение 2x+y+z-3=0. Найдём искомый угол как угол между нормалями плоскостей.,, откуда φ=60˚ Ответ: 60˚

9 Задача (ДР_2013).В правильной четырехугольной призме ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 стороны основания равны 1, а боковые ребра равны 5. На ребре АА 1 отмечена точка Е так, что АЕ:ЕА 1 =2:3. Найдите угол между плоскостями АВС и ВЕD 1. Решение. Введем прямоугольную систему координат. Тогда В(1;0;0), Е(0;0;2), D 1 (0;1;5). Решаем систему Составляем уравнение плоскости ( ВЕD 1 ): -х+1,5 у-0,5z+1=0, вектор нормали плоскости ( ВЕD 1 ) Вектор нормали плоскости ( ABC) Найдем искомый угол как угол между нормалями плоскостей Ответ:

10 Задача. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 с ребром 1. Точка М-середина ребра АВ, точка К – середина ребра DD 1. Найти угол между плоскостями АКВ 1 и КМС. РЕШЕНИЕ. Введем прямоугольную систему координат, поместив начало координат в точку А. Составим уравнение плоскости АКВ 1. Точка А (0;0;0) принадлежит этой плоскости, то d=0. Подставим координаты точек К(0;1; 0,5) и В 1 (1;0;1) в уравнение плоскости, получим b+c/2=0, a+c=0. Таким образом имеем 2 х+у - 2z=0. Составим уравнение плоскости КМС. Подставим координаты точек К(0;1; 0,5) и М (0,5;0;0), С(1;1;0) в уравнение плоскости, получим систему: Уравнение плоскости (КМС) принимает вид и угол между плоскостями АВК 1 и КМС находим из 2 х – у +4z=1. Итак,

11

12

13 Для самостоятельного решения Задача (С2 ЕГЭ 2010). В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 известны ребра AB = 8, AD = 6, CC 1 =6. Найдите угол меду плоскостями CD 1 B 1 и AD 1 B 1. Задача (С2 ЕГЭ 2010). Все ребра пирамиды SABCD с вершиной S равны между собой. Найдите угол между плоскостями SBM и SCD, где точка M - середина ребра CD. Ответ: Задача. В единичном кубе АВСDA 1 В 1 С 1 D 1 найдите угол между плоскостями АD 1 Е и D 1 FC, где точки Е и F-середины ребер А 1 В 1 и В 1 С 1 соответственно. Ответ: Задача. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1, все ребра которой равны 1, найти косинус угла между плоскостями ACB1 и BA1C1. Задача. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD сторона основания равна, а боковое ребро равно 10. Найти угол между плоскостями ABC и ACM, где точка M делит ребро BS так, что BM : MS = 2 : 1.

14 Источники: