Паркеты Паркетом называется такое заполнение плоскости многоугольниками, при котором любые два многоугольника либо имеют общую сторону, либо имеют общую. - презентация

1 Паркеты Паркетом называется такое заполнение плоскости многоугольниками, при котором любые два многоугольника либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо не имеют общих точек. Паркет называется правильным, если он состоит из правильных многоугольников, и вокруг каждой вершины правильные многоугольники расположены одним и тем же способом. Теорема. Существует одиннадцать правильных паркетов.

2 Паркет 1 На рисунке приведен фрагмент правильного паркета из треугольников.

3 Паркет 2 На рисунке приведен фрагмент правильного паркета из квадратов.

4 Паркет 3 На рисунке приведен фрагмент правильного паркета из шестиугольников.

5 Паркеты α1α1 α2α2 α3α3 α4α4 α5α5 α6α6 60 о Паркет из 3-в 60 о 120 о Паркет из 3-в и 6-в 60 о 90 о Два паркета из 3-в и 4-в 60 о 90 о 150 о Нет паркета 60 о 120 о Паркет из 3-в и 6-в 60 о 90 о 120 о Паркет из 3-в, 4-в и 6-в 60 о 150 о Паркет из 3-в и 12-в 90 о Паркет из квадратов 90 о 120 о 150 о Паркет из 4-в, 6-в и 12-в 90 о 135 о Паркет из 4-в и 8-в 120 о Паркет из 6-ов Расширим способы составления паркетов из правильных многоугольников, разрешив использовать в них правильные многоугольники с различным числом сторон. Обозначим через α 1, α 2, … углы правильных многоугольников, имеющих общую вершину. Расположим их в порядке возрастания. Учитывая, что сумма всех таких углов должна быть равна 360 о, составим таблицу, содержащую возможные наборы углов и укажем соответствующие паркеты.

6 Паркет 4 На рисунке приведен фрагмент правильного паркета из шестиугольников и треугольников.

7 Паркет 5 На рисунке приведен фрагмент правильного паркета из квадратов и треугольников.

8 Паркет 6 На рисунке приведен фрагмент правильного паркета из квадратов и треугольников.

9 Паркет 7 На рисунке приведен фрагмент еще одного правильного паркета из шестиугольников и треугольников.

10 Паркет 8 На рисунке приведен фрагмент еще одного правильного паркета из шестиугольников, квадратов и треугольников.

11 Паркет 9 На рисунке приведен фрагмент еще одного правильного паркета из двенадцатиугольников, и треугольников.

12 Паркет 10 На рисунке приведен фрагмент еще одного правильного паркета из двенадцатиугольников, шестиугольников и квадратов.

13 Паркет 11 На рисунке приведен фрагмент еще одного правильного паркета из восьмиугольников и квадратов.

14 Паркет из четырехугольников Теорема. Для любого четырехугольника существует паркет, состоящий из четырехугольников, равных исходному. Иначе говоря, четырехугольником произвольной формы можно заполнить всю плоскость.

15 Паркет из четырехугольников Четырехугольник в предыдущей теореме может быть и невыпуклым.

16 Заполнение плоскости Заполнение плоскости может быть произведено и многоугольниками более сложной формы.

17 Двойственные паркеты Двойственным к правильному паркету называется паркет, вершины которого находятся в центрах правильных многоугольников данного правильного паркета. На рисунке показано образование паркета, двойственного к правильному паркету 6.

18 Вопрос 1 Что называется паркетом? Ответ: Паркетом называется такое заполнение плоскости многоугольниками, при котором любые два многоугольника либо имеют общую сторону, либо имеют общую вершину, либо не имеют общих точек.

19 Вопрос 2 Какой паркет называется правильным? Ответ: Паркет называется правильным, если он состоит из правильных многоугольников, и вокруг каждой вершины правильные многоугольники расположены одним и тем же способом.

20 Вопрос 3 Какой паркет называется двойственным к правильному паркету? Ответ: Двойственным к правильному паркету называется паркет, вершины которого находятся в центрах правильных многоугольников данного правильного паркета.

21 Вопрос 4 Можно ли составить паркет из равных треугольников произвольной формы? Ответ: Да.

22 Вопрос 5 Можно ли составить паркет из равных четырехугольников произвольной формы? Ответ: Да.

23 Упражнение 1 Изобразите паркет, составленный из четырехугольников, равных данному. Раскрасьте четырехугольники в два цвета так, чтобы соседние четырехугольники были окрашены разными цветами. Ответ:

24 Упражнение 2 Изобразите паркет, составленный из четырехугольников, равных данному. Раскрасьте четырехугольники в два цвета так, чтобы соседние четырехугольники были окрашены разными цветами. Ответ:

25 Упражнение 3 Изобразите паркет, составленный из треугольников, равных данному. Раскрасьте треугольники в два цвета так, чтобы соседние треугольники были окрашены разными цветами. Ответ:

26 Упражнение 4 Изобразите паркет, составленный из треугольников, равных данному. Раскрасьте треугольники в два цвета так, чтобы соседние треугольники были окрашены разными цветами. Ответ:

27 Упражнение 5 Изобразите паркет, составленный из шестиугольников, равных данному. Раскрасьте шестиугольники в три цвета так, чтобы соседние шестиугольники были окрашены разными цветами. Ответ:

28 Упражнение 6 Изобразите паркет, составленный из шестиугольников, равных данному. Раскрасьте шестиугольники в три цвета так, чтобы соседние шестиугольники были окрашены разными цветами. Ответ:

29 Упражнение 7 Изобразите паркет, составленный из четырехугольников, равных данному. Раскрасьте четырехугольники в два цвета так, чтобы соседние четырехугольники были окрашены разными цветами. Ответ:

30 Упражнение 8 Изобразите паркет, составленный из четырехугольников, равных данному. Раскрасьте четырехугольники в два цвета так, чтобы соседние четырехугольники были окрашены разными цветами. Ответ:

31 Упражнение 9 Придумайте пятиугольник, из которого можно составить паркет. Сколько красок потребуется для раскраски этого паркета, чтобы соседние пятиугольники были окрашены разными цветами. Один из возможных пятиугольников изображен на рисунке. Попробуйте составить из него паркет. Ответ: 3.

32 Упражнение 10 Продолжите составление паркета из квадратов и треугольников, равных данным, так, чтобы в каждой вершине сходилось два квадрата и три треугольника. Раскрасьте квадраты одним цветом, а треугольники – другим. Ответ:

33 Упражнение 11 Продолжите составление паркета из шестиугольников и треугольников, равных данным, так, чтобы в каждой вершине сходилось два шестиугольника и два треугольника. Раскрасьте шестиугольники одним цветом, а треугольники – другим. Ответ:

34 Упражнение 12 Продолжите составление паркета из шестиугольников, квадратов и треугольников, равных данным, так, чтобы в каждой вершине сходились шестиугольник, два квадрата и треугольник. Раскрасьте шестиугольники и треугольники одним цветом, а квадраты – другим. Ответ:

35 Упражнение 13 Продолжите составление паркета из восьмиугольников и квадратов, равных данным, так, чтобы в каждой вершине сходилось два восьмиугольника и один квадрат. Раскрасьте восьмиугольники одним цветом, а квадраты – другим. Ответ:

36 Упражнение 14 Продолжите составление паркета из двенадцатиугольников и треугольников, равных данным, так, чтобы в каждой вершине сходилось два двенадцатиугольника и один треугольник. Раскрасьте двенадцатиугольники одним цветом, а треугольники – другим. Ответ:

37 Упражнение 15 Продолжите составление паркета из двенадцатиугольников, шестиугольников и квадратов, равных данным, так, чтобы в каждой вершине сходилось двенадцатиугольник, шестиугольник и квадрат. Раскрасьте двенадцатиугольники одним цветом, шестиугольники – другим, а квадраты – третьим. Ответ:

38 Упражнение 16 На клетчатой бумаге изобразите паркет из шестиугольников и треугольников, аналогичный паркету 4. Ответ:

39 Упражнение 17 На клетчатой бумаге изобразите паркет из квадратов и треугольников, аналогичный паркету 5. Ответ:

40 Упражнение 18 Составьте паркет из каких-нибудь равных пятиугольников? Ответ:

41 Упражнение 19 Можно ли составить паркет из равных семиугольников? Ответ: Нет.

42 Упражнение 20 Заполните плоскость многоугольниками, равными данному. Раскрасьте многоугольники в два цвета так, чтобы соседние многоугольники были окрашены в разные цвета. Ответ:

43 Упражнение 21 Заполните плоскость многоугольниками, равными данному. Раскрасьте многоугольники в два цвета так, чтобы соседние многоугольники были окрашены в разные цвета. Ответ:

44 Упражнение 22 Из каких многоугольников состоят паркеты, двойственные к паркетам, изображенным на рисунках 1 – 3? Ответ: 1) Четырехугольников; 2) шестиугольников; 3) треугольников.

45 Упражнение 23 Из каких многоугольников состоят паркеты, двойственные к паркетам, изображенным на рисунках 4 – 7? Какие у них углы? Ответ: 4) Пятиугольников с углами 60 о, 120 о, 120 о, 120 о, 120 о ; Рис. 5 Рис. 4 Рис. 6Рис. 7 5) пятиугольников, с углами 90 о, 90 о, 120 о, 120 о, 120 о ; 6) пятиугольников с углами 90 о, 120 о, 90 о, 120 о, 120 о ; 7) четырехугольников с углами 60 о, 120 о, 60 о, 120 о.

46 Упражнение 24 Из каких многоугольников состоят паркеты, двойственные к паркетам, изображенным на рисунках 8 – 11? Какие у них углы? Ответ: 8) Четырехугольников с углами 60 о, 90 о, 120 о, 90 о ; Рис. 8 Рис. 10 Рис. 9 Рис. 11 9) треугольников с углами 120 о, 30 о, 30 о ; 10) треугольников с углами 90 о, 60 о, 30 о ; 11) треугольников с углами 90 о, 45 о, 45 о.

47 Картины М. Эшера (Всадники)

48 Картины М. Эшера (Птицы)

49 Картины М. Эшера (Ящерицы)

50 Картины М. Эшера (Круг)