Перпендикуляр Перпендикуляром, опущенным из точки A на прямую а, называется отрезок AB, соединяющий точку A с точкой B прямой a, перпендикулярный прямой. - презентация

1 Перпендикуляр Перпендикуляром, опущенным из точки A на прямую а, называется отрезок AB, соединяющий точку A с точкой B прямой a, перпендикулярный прямой a. Точка B называется основанием перпендикуляра. Длина перпендикуляра AB называется расстоянием от точки A до прямой a.

2 Наклонные Для произвольной точки C прямой a, отличной от основания перпендикуляра B, отрезок AC называется наклонной, проведенной из точки A к прямой a. Точка C называется основанием наклонной. Отрезок BC называется проекцией наклонной.

3 Теорема Перпендикуляр, опущенный из данной точки на данную прямую, короче всякой наклонной, проведенной из этой точки к этой прямой. Доказательство. Пусть точка A не принадлежит прямой a, AB – перпендикуляр, AC – наклонная. В прямоугольном треугольнике ABC сторона AB – катет, а AC – гипотенуза. Следовательно, AB < AC.

4 Вопрос 1 Что называется перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную прямую? Ответ: Перпендикуляром, опущенным из данной точки A на данную прямую а, называется отрезок AB, соединяющий точку A с точкой B прямой a, перпендикулярный прямой a.

5 Вопрос 2 Что называется наклонной, проведенной из данной точки к данной прямой? Ответ: Наклонной, проведенной из точки A к прямой a, называется отрезок AC, соединяющей точку A с произвольной точкой C прямой a, отличной от основания перпендикуляра B.

6 Вопрос 3 Что называется расстоянием от точки до прямой? Ответ: Длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную прямую.

7 Вопрос 4 Что больше, перпендикуляр или наклонная, проведенные из одной точки к данной прямой? Ответ: Наклонная.

8 Упражнение 1 Из точки C опустите перпендикуляр CD на прямую AB. Ответ.

9 Упражнение 2 Из точки C опустите перпендикуляр CD на прямую AB. Ответ.

10 Упражнение 3 Из точки C опустите перпендикуляр CD на прямую AB. Ответ.

11 Упражнение 4 Сколько перпендикуляров можно опустить из данной точки на данную прямую? Ответ: Один.

12 Упражнение 5 Сколько наклонных можно провести из данной точки к данной прямой? Ответ: Бесконечно много.

13 Упражнение 6 Длина какого отрезка является расстоянием от вершины треугольника до его противоположной стороны? Ответ: Высоты.

14 Упражнение 7 Могут ли неравные наклонные, проведенные из одной точки к одной прямой, иметь равные проекции? Ответ: Нет.

15 Упражнение 8 Могут ли равные наклонные, проведенные из одной точки к одной прямой, иметь неравные проекции? Ответ: Нет.

16 Упражнение 9 Чему равна проекция одной стороны равностороннего треугольника на прямую, содержащую другую его сторону? Ответ: Половине стороны треугольника.

17 Упражнение 10 Чему равна проекция гипотенузы прямоугольного треугольника на прямую, содержащую его катет? Ответ: Этому катету.

18 Упражнение 11 Чему равна проекция боковой стороны равнобедренного треугольника на прямую, содержащую его основание? Ответ: Половине основания.

19 Упражнение 12 Докажите, что две равные наклонные, проведенные из данной точки к данной прямой, имеют равные проекции. Доказательство. Пусть AC и AD – равные наклонные, проведенные к данной прямой, AB - перпендикуляр. Прямоугольные треугольники ABC и ABD равны по катету и гипотенузе. Следовательно, BC = BD, т.е. равны проекции наклонных.

20 Упражнение 13 Докажите, что если две наклонные, проведенные из данной точки к данной прямой, имеют равные проекции, то они равны. Доказательство. Пусть AC и AD –наклонные, проведенные к данной прямой, AB - перпендикуляр. Прямоугольные треугольники ABC и ABD равны по двум катетам. Следовательно, AC = AD, т.е. равны наклонные.

21 Упражнение 14 Докажите, что из двух наклонных, проведенных из данной точки к данной прямой, больше та, проекция которой больше. Доказательство. Пусть AC и AD –наклонные, проведенные к данной прямой, AB – перпендикуляр, BD > BC. Тогда угол ACD – тупой, угол ADC – острый. Так как против большего угла треугольника лежит большая сторона, то AD > AC. (Самостоятельно рассмотрите случай, когда точки C и D лежат по разные стороны от точки B.)