Теорема Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Доказательство. Рассмотрим треугольник АВС. Отложим на продолжении стороны АВ отрезок. - презентация

1 Теорема Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Доказательство. Рассмотрим треугольник АВС. Отложим на продолжении стороны АВ отрезок ВD, равный стороне ВС. Треугольник ВDC - равнобедренный. Поэтому 1= 2. Угол 2 составляет часть угла ACD. Следовательно, 2 AC. Но AD=AB+BD=AB+BC. Следовательно, имеем неравенство AB+BC > AC, или AC < AB + BC, означающее, что сторона AC треугольника меньше суммы двух других сторон.

2 Упражнение 1 Можно ли построить треугольник со сторонами: а) 13 см, 2 см, 8 см; б) 1 м, 0,5 м, 0,5 м? Ответ: а), б) Нет.

3 Упражнение 2 Могут ли стороны треугольника относится как: а) 1 : 2 : 3; б) 2 : 3 : 6; в) 1 : 1 : 2? Ответ: а), б), в) Нет.

4 Упражнение 3 В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 25 см, а другая 10 см. Какая из них является основанием? Ответ: 10 см.

5 Упражнение 4 Найдите сторону равнобедренного треугольника, если две другие стороны равны: а) 6 см и 3 см; б) 8 см и 2 см. Ответ: а) 6 см; б) 8 см.

6 Упражнение 5 В равнобедренном треугольнике одна сторона равна 12 см, а другая – 5 см. Найдите периметр данного треугольника. Ответ: 29 см.

7 Упражнение 6 Периметр равнобедренного треугольника равен 20 см. Одна из сторон больше другой в два раза. Найдите длины сторон этого треугольника. Ответ: 4 см, 8 см, 8 см.

8 Упражнение 7 Периметр равнобедренного треугольника равен 25 см, разность двух сторон равна 4 см, а один из его внешних углов острый. Найдите стороны треугольника. Ответ: 11 см, 7 см, 7 см.

9 Упражнение 8 В треугольнике ABC AC = 3,8 см, AB = 0,6 см. Длина стороны BC выражается целым числом. Найдите его. Ответ: 4 см.

10 Упражнение 9 Докажите, что каждая сторона треугольника больше разности двух других сторон. Доказательство. Пусть в треугольнике ABC сторона AC больше стороны BC. По доказанной теореме, выполняется неравенство AB+BC > AC. Вычитая из обеих частей этого нера­венства ВС, получим неравенство АВ > АС – ВС, означающее, что сторона AB треугольника больше разности двух сторон AC и BC.

11 Упражнение 10 В каких пределах может изменяться периметр P треугольника, если две его стороны равны a и b (a < b)? Ответ: 2b < P < 2(a + b).

12 Упражнение 11 Докажите, что каждая сторона треугольника меньше его полупериметра. Решение: Воспользуемся тем, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. В треугольнике ABC имеем: AB < AC + BC. Прибавляя к обеим частям этого неравенства AB, получим 2AB < AB + AC + BC. Следовательно, AB < ( AB + AC+ BC)/2.

13 Упражнение 12 Докажите, что медиана треугольника меньше его полупериметра. Решение: Пусть в треугольнике ABC CD – медиана. Тогда CD < AC + AD и CD < BC + BD. Следовательно, 2CD < AB + BC + AC.

14 Упражнение 13 Докажите, что биссектриса треугольника меньше его полупериметра. Решение: Пусть в треугольнике ABC CD – биссектриса. Тогда CD < AC + AD и CD < BC + BD. Следовательно, 2CD < AB + BC + AC.

15 Упражнение 14 Докажите, что медиана треугольника меньше полусуммы сторон, между которыми она заключается. Решение: Пусть CC 1 – медиана треугольника ABC. Отложим на продолжении этой медианы отрезок C 1 D, равный CC 1. В четырехугольнике ACBD AD = BC. Воспользуемся тем, что каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон. Тогда CD < AC + AD, следовательно, 2CC 1 < AC + BC, или