Натуральные числа. Целые числа Определение натуральных чисел Множество натуральных чисел Сумма и произведение натуральных чисел 1 2 2. - презентация

1

2 Натуральные числа. Целые числа Определение натуральных чисел Множество натуральных чисел Сумма и произведение натуральных чисел 1 2 2

3 Натуральные числа. Целые числа 2 Вычитание и деление натуральных чисел Множество целых чисел ч.1 Множество целых чисел ч

4 Определение натуральных чисел Числа 1, 2, 3, 4, 5…, употребляемые при счёте называют натуральными числами. далее

5 Определение натуральных чисел Каждое натуральное число получается из предыдущего прибавлением единицы, т.е. за каждым натуральным числом n следует число n+1. Каждое натуральное число отличное от 1, следует за натуральным числом, которое получается из него вычитанием единицы, т.е. натуральное число n, где т=1, следует за числом n-1. назад

6 Множество натуральных чисел Множество натуральных чисел обычно обозначают, как вы знаете буквой N (от первой буквы латинского слова naturalis – естественный, природный). далее

7 Множество натуральных чисел Множество N бесконечное, в нём есть наименьший элемент – число 1, но нет наибольшего элемента. назад

8 Сумма и произведение натуральных чисел Сумма и произведение натуральных чисел всегда являются натуральными числами, т.е. на множестве натуральных чисел всегда выполнимы действия сложения и умножения, а именно: если а Е N и Ь Е N, то а + Ь Е N и аЬ Е N. назад

9 Вычитание и деление натуральных чисел Иначе обстоит дело с вычитанием и делением. На множестве натуральных чисел эти действия в ряде случаев невыполнимы. Другими словами, уравнения а + х = Ь и ах = Ь, где а Е N, Ь Е N, на множестве натуральных чисел не всегда имеют решения. Например, имея в запасе только натуральные числа, нельзя решить уравнения 8 + х = 3, 5 х = 16. далее

10 Вычитание и деление натуральных чисел Для того чтобы вычитание натуральных чисел было выпол­нимо во всех случаях, множество натуральных чисел дополня­ ют числом О и числами, противоположными натуральным, ко­ торые обозначаются так: -1, -2, -3 и т. д. Натуральные числа, противоположные им числа и число О составляют множество целых чисел:... -3, -2, -1, О, 1,2,3,.... содержание

11 Множество целых чисел Множество целых чисел, как известно, принято обозначать буквой Z (от первой буквы немецкого слова Zahl- число). Множество Z также является бесконечным, в нем нет ни наименьшего элемента, ни наибольшего. В множестве Z всегда выполнимы действия сложения, вычитания и умножения. В результате выполнения любого из этих действий над целыми числами получается целое число, т. е. если а Е Z и Ь Е Z, то а + Ь Е Z, а - Ь Е Z и аЬ Е Z. далее

12 Множество целых чисел Однако деление по-прежнему и на множестве Z выполнимо не во всех случаях, т. е. уравнение ах = Ь, где а Е Z и Ь Е Z, не всегда разрешимо в целых числах. Так, например, на множе­стве целых чисел не имеет корней уравнение 3 х = -11. содержание

13 Множество целых чисел Заметим, что если для любых двух элементов множества К определена не которая операция (например, сложение) и результат выполнения этой операции также принадлежит множеству К, то говорят, что множество К замкнуто относительно этой операции. Так, например, множество N натуральных чисел замкнуто относительно таких операций, как сложение и умножение, а множество Z целых чисел замкнуто относительно трех операций - сложения, вычитания и умножения. далее

14 Множество целых чисел Множество N натуральных чисел является собственным под­множеством множества Z целых чисел. Покажем, что между множествами Z и N можно установить взаимно однозначное соответствие. Для этого будем выписывать целые числа, распо­лагая их следующим образом: на первом месте запишем число О, а далее будем брать в порядке возрастания натуральные числа и за каждым натуральным числом будем записывать противопо­ложное ему целое число. Получим: О, 1, -1, 2, -2, 3, -3,... n, -n,..., где n Е N. далее

15 Множество целых чисел Поставим числу 0 в соответствие число 1, числу 1 - число 2, числу -1 - число 3, числу 2 - число 4 и т. д. Вообще каждому натуральному числу n поставим в соответствие число 2n, а противоположному ему целому отрицательному числу -n поставим в соответствие число 2n+1. далее

16 Множество целых чисел Тем самым каждому целому числу мы поставим в соответствие единственное натуральное число. При этом каждое натуральное число окажется соответствующим вполне определенному целому числу. Установленное соответствие показано с помощью схемы: далее

17 Множество целых чисел Таким образом, мы убедились, что между множеством Z целых чисел и множеством N натуральных чисел можно установить взаимно однозначное соответствие. Если между множеством М и множеством натуральных чисел N можно установить взаимно однозначное соответствие, то множество М называют счетным. Таким образом, мы доказали, что множество целых чисел Z является счетным. В предыдущем пункте было показано, что счетным является множество Р четных натуральных чисел. содержание