А.В.Павлов Инт. Инф. Сист Кафедра фотоники и оптоинформатики Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики. - презентация

1 А.В.Павлов Инт. Инф. Сист Кафедра фотоники и оптоинформатики Санкт-Петербургский государственный университет информационных технологий, механики и оптики А.В.Павлов Интеллектуальные информационные системы Лекция 10 НС с хаотической динамикой (Начала теории хаоса) Санкт-Петербург, 2007

2 А.В.Павлов Инт. Инф. Сист Мозг здорового бодрствующего человека является предельно неустойчивой хаотической системой. Без хаотической динамики невозможно обучение – мозг не может добавить в память новый образ [Фриман Дж.У., Динамика мозга в восприятии и сознании: творческая роль хаоса // В сб. «Синергетика и психология». Вып.3. "Когнитивные процессы", Издательство «Когито-Центр", 2004.].

3 А.В.Павлов Инт. Инф. Сист Роль хаоса в обучении Состояние покоя СТИМУлСТИМУл незнакомый Состояние «не знаю» (хаос) знакомый Состояние успешного распознавания (предельный цикл) обучение

4 А.В.Павлов Инт. Инф. Сист Три типа динамики – три типа аттракторов Устойчивая система –аттрактор с единственным глобальным минимумом, конвергентная динамика; Предельный цикл – циклическая динамика; Хаос – странный аттрактор.

5 А.В.Павлов Инт. Инф. Сист Итерирующее отображение (X,d) – метрическое пространство T:X X сжимающее отображение, если S, 0

6 А.В.Павлов Инт. Инф. Сист Свойство единственности неподвижной точки Пусть T(x) имеет две неподвижные точки x f1 и x f2. Тогда по определению сжимающего отображения d(T(x f1 ),T(x f2 ))=d(T(x f1 ),T(x f2 ))Sd(x f1,x f2 ), Так как S

7 А.В.Павлов Инт. Инф. Сист Притягивающие и отталкивающие точки. Отображение f не предполагается сжимающим, теорема о неподвижной точке неприменима. Xf – неподвижная точка. Разложим f в ряд Тейлора вблизи неподвижной точки f(x) = f(x f )+(x-x f )(f(x)). По определению неподвижной точки f(x f )=x f, то следующий шаг x n+1 =f(x n ) x n+1 -x n =(x n -x f )f(x f ) если f(x f ) >1, то x f - отталкивающая, т.к. с каждым шагом расстояние увеличивается, орбиты из ее окрестности расходятся; если f(x f )

8 А.В.Павлов Инт. Инф. Сист Периодические точки Точки 1 и 2 : f( 1 )= 2 ; f( 2 )= 1 ; Def. Последовательность называется орбитой точки x 0. Def. Орбита называется периодической с периодом р, если x n+p =x n ; n=0,1,2… Если условие периодичности x n+p =x n справедливо только после некоторого n n 0, то орбита в конечном счете периодическая.

9 А.В.Павлов Инт. Инф. Сист Примеры итерирующих отображений, приводящих к хаосу модель ограниченного роста T: x n+1 =ax n (1-x n ) (Верхольст, 1845) x n+1 =x n 2 +a x n+1 =x n (1+a (1-x n )) x n+1 =x n exp(a(1-x n ))

10 А.В.Павлов Инт. Инф. Сист Отображение T(x)=x 2 +a Неподвижная точка - решения x=x 2 +a, т.е. Неподвижная точка действительные числа, только если 1-4а 0. Если а 1/4, то < и x 0 < орбиты стремятся к.

11 А.В.Павлов Инт. Инф. Сист Пусть I [-, ], если -2 а 1/4 и x 0 I, то T(x 0 ) I. –3/4

12 А.В.Павлов Инт. Инф. Сист Зависимость значения неподвижной точки от значения параметра а в диапазоне –3/4

13 А.В.Павлов Инт. Инф. Сист -5/4 1 Неподвижная точка отталкивающая. В то же время, T (2) доставляет пару притягивающих точек, приводящих к появлению цикла с периодом 2. a = –3/4 – точка бифуркации

14 А.В.Павлов Инт. Инф. Сист a=-5/4 – снова бифуркация удвоения периода –цикл с периодом 4. На рисунке диаграмма для значений 0 < а < -1,4 При а=-2, =2, I=[-2,2], y=x пересекает график Т (n) (x) точно 2 n раз, каждая точка периодическая с периодом n существуют периодические орбиты с р=2,3.4,…n

15 А.В.Павлов Инт. Инф. Сист

16 Точка Фейгенбаума a = lima n = …., где a n – значения точек бифуркаций. ¼

17 А.В.Павлов Инт. Инф. Сист Пример построения бифуркационной диаграммы для ИО «кривая ограниченного роста»

18 А.В.Павлов Инт. Инф. Сист Определение хаоса Пусть (X,d) метрическое пространство. Отображение T:X X называется хаотическим, если: 1.Т обладает существенной зависимостью от начальных условий, а именно: (X,d), x X, U – открытое мн-во, x U, для >0 n>0 и ( )y U, что d(T (n) (x),T (n )y))> ; 2. Т транзитивно, т.е. для U,V – открытых мн-в n 0 такое, что T (n) (U) V ; 3. Периодические точки плотны в Х, т.е. в любой окрестности точки в Х существует по крайней мере одна периодическая точка и, следовательно, бесконечное множество периодических точек. Это – строгий хаос. Строго говоря, условие (1) избыточно, т.к. оно следует из 2 и 3.

19 А.В.Павлов Инт. Инф. Сист Реализация сценария Фейгенбаума в голографической схеме Амосова Л.П., Плетнева Н.И., Чайка А.Н., «Нелинейный режим реверсивной записи голограмм на структурах фотопроводник - жидкий кристалл с высокой чувствительностью к излучению He-Ne лазера// Оптический журнал, 2005, т.72, 6, с R HC

20 А.В.Павлов Инт. Инф. Сист Сходимость процесса в зависимости от точки старта

21 А.В.Павлов Инт. Инф. Сист

22