БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО-МАТЕТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра теории функций Новичкова Дарья Александровна Руководитель Васильев Игорь. - презентация

1 БЕЛОРУССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ МЕХАНИКО-МАТЕТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ Кафедра теории функций Новичкова Дарья Александровна Руководитель Васильев Игорь Леонидович доцент кафедры теории функций кандидат физико-математических наук АЛГЕБРЫ, ПОРОЖДЕННЫЕ КУСОЧНО-НЕПРЕРЫВНЫМИ ФУНКЦИЯМИ

2 Выход Содержание Актуальность Цели и задачи Объект и предмет исследования Основные результаты Научная новизна Положения, выносимые на защиту Вывод

3 Выход Актуальность Области применения интегральные уравнения оператор взвешенного сдвига интегральный сингулярный оператор топология дифференциальные уравнения ДУ с обобщенными коэффициентами

4 Выход Цели и задачи Задачи: построить пространство максимальных идеалов описать сопряженное пространство применить построенную теорию Цель изучить пространство X Рассматривается пополнение X по sup-норме множества кусочно-непрерывных функций на [0,1)

5 Выход Объект и предмет исследования Алгебра - векторное пространство, на котором задано ассоциативное умножение Идеал алгебры – подмножество, замкнутое относительно умножения на элементы алгебры Теорема (Гельфанд- Наймарк) Коммутативная алгебра изоморфна кольцу непрерывных функций на пространстве ее максимальных идеалов

6 Выход Объект и предмет исследования Линейный функционал – линейное отображение на поле. Сопряженное пространство – множество линейных ограниченных функционалов.

7 Выход Пространство максимальных идеалов Представление алгебры X X есть наименьшая банахова алгебра, которая содержит кусочно-постоянные функции, непрерывные справа X есть подмножество в B[0,1], состоящее из функций, непрерывных справа в каждой точке полуинтервала [0,1) и имеющих предел слева в каждой точке полуинтервала (0,1].

8 Выход Пространство максимальных идеалов Пространство максимальных идеалов можно представить в виде множества M, которое состоит из двух экземпляров М =(0,1], М + =(0,1] + отрезка [0,1]. Функции x из Х ставится в соответствие функция из C(M) по следующей формуле

9 Выход Пространство максимальных идеалов Топологические свойства Линейно упорядоченное Вполне несвязное, но не экстремально несвязное Неметризуемое, а следовательно X не является сепарабельным

10 Выход Сопряженное пространство Меры на M, в частности функционалы на X, задаются с помощью функций ограниченной вариации Теорема. Сопряженное пространство X изоморфно пространству функций g ограниченной вариации на [0,1], таких, что g(0) = 0 Все конечно-аддитивные меры на M являются σ-аддитивными

11 Выход Сопряженное пространство Интеграл Лебега 1) Пусть, g – функция ограниченной вариации, непрерывная слева и g(0) = 0. Тогда 2) Пусть g – функция скачков слева, причем y k – ее скачок в точке t k. Тогда

12 Выход Пример Оператор взвешенного сдвига Пусть есть оператор α(t) поворота на иррациональное число; функция a из X не имеет пределов справа или слева, равных нулю Тогда для спектрального радиуса r(b) оператора взвешенного сдвига bu(t) = a(x)u(α(t)) верна формула:

13 Выход Научная новизна Систематическое исследование свойств алгебры с разных точек зрения Расширение формулы спектрального радиуса на кусочно-непрерывные коэффициенты

14 Выход Положения, выносимые на защиту Пространство максимальных идеалов алгебры кусочно-непрерывных функций. Сопряженное пространство алгебры кусочно- непрерывных функций. Интегрируемость по Лебегу на пространстве максимальных идеалов. Методы вычисления интегралов Лебега Спектр оператора взвешенного сдвига с коэффициентами из алгебры кусочно- непрерывных функций.

15 Выход Вывод Построено пространство максимальных идеалов алгебры кусочно-непрерывных функций Описано его сопряженное пространство Построенная теория применена к нахождению оператора взвешенного сдвига

16 Выход СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!