© Yanshina 2006 «…Геометрия владеет двумя сокровищами: Одно из них - это теорема Пифагора, и другое - деление отрезков в среднем и крайнем отношении… - презентация

1

2 © Yanshina 2006

3 «…Геометрия владеет двумя сокровищами: Одно из них - это теорема Пифагора, и другое - деление отрезков в среднем и крайнем отношении… Первое можно сравнить с мерой золота, второе больше напоминает драгоценный камень»

4 © Yanshina 2006 Почему Кеплер сравнивал теорему Пифагора с мерой золота? Гипотеза: Я считаю, что какими бы способами мы не доказывали теорему, усомниться в ней невозможно.

5 © Yanshina 2006 Познакомиться с различными доказательствами теоремы Пифагора Познакомиться с различными доказательствами теоремы Пифагора Понять, что геометрия – это просто Понять, что геометрия – это просто Увидеть красоту в «трудном» школьном предмете Увидеть красоту в «трудном» школьном предмете

6 © Yanshina История теоремы 2. Формулировки теоремы 3.Доказательства: а) простейшее; б) алгебраическое; в) другие;

7 © Yanshina 2006

8 Исторический обзор начнем с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу- пей. В этом сочинении говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство = 5 2 было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э., во времена царя Аменемхета I. Несколько больше известно о теореме Пифагора у вавилонян. В одном тексте, относимом ко времени Хаммураби, т. е. к 2000 г. до н. э., приводится приближенное вычисление гипотенузы прямоугольного треугольника. Весьма вероятно, что теорема о квадрате гипотенузы была известна в Индии уже около 18 века до н. э.

9 © Yanshina 2006

10 Приведем различные формулировки теоремы Пифагора в переводе с греческого, латинского и немецкого языков. У Евклида эта теорема гласит (дословный перевод): "В прямоугольном треугольнике квадрат стороны, натянутой над прямым углом, равен квадратам на сторонах, заключающих прямой угол". Латинский перевод арабского текста Аннаирици (около 900 г. до н. э.), сделанный Герхардом Клемонским (начало 12 в.), в переводе на русский гласит: "Во всяком прямоугольном треугольнике квадрат, образованный на стороне, натянутой над прямым углом, равен сумме двух квадратов, образованных на двух сторонах, заключающих прямой угол". В Geometria Culmonensis (около 1400 г.) в переводе теорема читается так: "Итак, площадь квадрата, измеренного по длинной стороне, столь же велика, как у двух квадратов, которые измерены по двум сторонам его, примыкающим к прямому углу". В первом русском переводе евклидовых "Начал", сделанном Ф. И. Петрушевским, теорема Пифагора изложена так: "В прямоугольных треугольниках квадрат из стороны, противолежащей прямому углу, равен сумме квадратов из сторон, содержащих прямой угол".

11 © Yanshina 2006 Если дан нам треугольник Если дан нам треугольник И притом с прямым углом, И притом с прямым углом, То квадрат гипотенузы То квадрат гипотенузы Мы всегда легко найдем: Мы всегда легко найдем: Катеты в квадрат возводим, Катеты в квадрат возводим, Сумму степеней находим Сумму степеней находим И таким простым путем И таким простым путем К результату мы придем. К результату мы придем. a²+b²=c² a b c

12 © Yanshina 2006 ослиный мост бегство убогих Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum- ослиный мост, или elefuga- бегство убогих, так как некоторые убогие ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозваны по этому ослами, были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста.

13 © Yanshina Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для ABC: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, по два. Теорема доказана.

14 © Yanshina 2006 Дано: Δ АВС, С = 90º. С А В D Доказать: АВ 2 = ВС 2 +АС 2 Алгебраическое доказательство Построим высоту из прямого угла С. По определению косинуса: Cos A= AD:AC=AC:AB AB*AD=AC 2 Аналогично:cosB=BD:BC=BC:AB AB*BD=BC 2 Складывая полученные равенства почленное и замечая, что AD+DB=AB,получим: AC 2 +BC 2 =AB(AD+DB)=AB 2

15 © Yanshina 2006 Древнекитайское доказательство.

16 © Yanshina 2006 Доказательства Бхаскари В своей знаменитой книге «Венец науки» индийский математик Бхаскари (ХІІ столетие нашей эры) приводит доказательство, основанное на понятии равновеликости.

17 © Yanshina 2006 ЭТО КВАДРАТ Его площадь равна (a+b) 2

18 Это тоже квадрат Его площадь равна с 2

19 Площадь этого треугольника Равна 1/2ab

20 © Yanshina 2006 Площадь большого квадрата равна сумме площадей маленького квадрата и площадей четырех треугольников (a+b) 2 =c 2 +4*1/2ab Отсюда a 2 +2ab+b 2 = c 2 +2ab a 2 +b 2 = c 2

21 © Yanshina 2006 Доказательство Евклида Доказательство Хоукинсa. Доказательство Вальдхейма.

22 © Yanshina 2006 Доказательство основанное на теории подобия. Доказательство Гутхейля. Луночки Гиппократа Доказательство Перигаля.

23 © Yanshina 2006 Доказательство Эпштейна Доказательство Нильсена. Доказательство Бетхера.

24 © Yanshina 2006 Доказательство 9 века н.э. На китайском, 1670 г.

25 © Yanshina 2006 Доказательство методом вычитания. Доказательство первое.

26 © Yanshina 2006 Здесь показано на сколько больше доказательств стало в наше время

27 © Yanshina 2006 во все стороны равны.» Из-за чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее так же ветряной мельницей, составляли стихи вроде Пифагоровы штаны на все стороны равны, рисовали карикатуры. «Пифагоровы штаны

28 © Yanshina 2006 с² = а² + в²

29 © Yanshina 2006 Задачи для самостоятельного решения

30 © Yanshina 2006

31

32 Рассмотрев различные типы доказательств теоремы Пифагора, я убедилась в её совершенстве, увидев её красоту, простоту и значимость. Рассмотрев различные типы доказательств теоремы Пифагора, я убедилась в её совершенстве, увидев её красоту, простоту и значимость.