Выполнил : ученик 8 информационно- математического класса Светиков Илья Брянск 2011 Проект по теме «Различные способы доказательства теоремы Пифагора» - презентация

1 Выполнил : ученик 8 информационно- математического класса Светиков Илья Брянск 2011 Проект по теме «Различные способы доказательства теоремы Пифагора» Доказательство с помощью метода построения

2 Сущность метода построения состоит в том, что к квадратам, построенным на катетах, и к квадрату, построенному на гипотенузе, присоединяются равные фигуры таким образом, чтобы получились равновеликие фигуры. Изображена обычная Пифагорова фигура прямоугольный треугольник АВС с построенными на его сторонах квадратами. К этой фигуре присоединены треугольники 1 и 2, равные исходному прямоугольному треугольнику. Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. A B C E D F Q M P N 1 2

3 A B C E D F Q M P N 1 2 Справедливость теоремы Пифагора вытекает из равновеликости шестиугольников AEDFPB и ACBNMQ. Здесь прямая ЕР делит шестиугольник AEDFPB на два равновеликих четырехугольника, прямая СМ делит шестиугольник ACBNMQ на два равновеликих четырехугольника; поворот плоскости на 90 о вокруг центра А отображает четырехугольник AEPB на четырехугольник ACMQ. (Это доказательство впервые дал Леонардо да Винчи.)

4 Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Этот способ иллюстрирует доказательство, приведенное Нассир- эд-Дином (1594 г.) Здесь: PL – прямая; KLOA = ACPF =ACED = а 2 LGBO = CBMP = CBNQ = b 2 AKGB = AKLO + LGBO = c 2 отсюда c 2 = a 2 + b 2 F P QM N B G LK A E D C b a c O

5 Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Вот доказательство, приведенное Гофманом (1821 г.) Здесь Пифагорова фигура построена так, что квадраты лежат по одну сторону от прямой АВ. Здесь: OCLP = ACLF = ACED = b 2 CBML = CBNQ = a 2 OBMP = ABMF = c 2 OBMP = OCLP + CBML Отсюда c 2 = a 2 + b 2

6 Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Далее иллюстрируем еще одно более оригинальное доказательство, предложенное Гофманом. Здесь: треугольник АВС с прямым углом С; отрезок BF перпендикулярен СВ и равен ему, отрезок ВЕ перпендикулярен АВ и равен ему, отрезок AD перпендикулярен АС и равен ему; точки F, С, D принадлежат одной прямой; четырехугольники ADFB и АСВЕ равновелики, так как ABF = ECB; треугольники ADF и ACE равновелики; отнимем от обоих равновеликих четырехугольников общий для них треугольник АВС, получим A D C E B F a c b

7 Сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы. Пифагорова фигура достроена до прямоугольника, стороны которого параллельны соответствующим сторонам квадратов, построенных на катетах. Разобьем этот прямоугольник на треугольники и прямоугольники. Из полученного прямоугольника вначале отнимем все многоугольники 1,2,3,4,5,6,7,8,9, остался квадрат, построенный на гипотенузе. Затем из того же прямоугольника отнимем прямоугольники 5,6,7 и заштрихованные прямоугольники, получим квадраты, построенные на катетах. A C B