Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 1. Введение. Основные понятия теории вероятностей. Элементы комбинаторики. - презентация

1 Теория вероятностей и математическая статистика Лекция 1. Введение. Основные понятия теории вероятностей. Элементы комбинаторики

2 Предмет теории вероятностей Теория вероятностей изучает закономерности, возникающие в случайных экспериментах. Случайным называют эксперимент, результат которого нельзя предсказать заранее. Невозможность предсказать результат отличает случайное явление от детерминированного. Не все случайные явления ( эксперименты ) можно изучать методами теории вероятностей, а лишь те, которые могут быть воспроизведены в одних и тех же условиях. Случайность и хаос не одно и то же.

3 Случайное событие : факт, который в результате опыта может произойти или не произойти. События, которые могут произойти в результате опыта, можно подразделить на три вида : а ) достоверное событие – событие, которое всегда происходит при проведении опыта ; б ) невозможное событие – событие, которое в результате опыта произойти не может ; в ) случайное событие – событие, которое может либо произойти, либо не произойти.

4 Алгебра событий. Сумма ( объединение ) событий Произведение ( пересечение ) событий Разность ( дополнение ) событий

5 Сумма событий Суммой ( объединением ) событий A и B называется событие, состоящее в том, что произошло либо A, либо B, либо оба события одновременно. A B

6 Произведение событий Произведением АВ событий А и В называется событие, состоящее в том, что произошло и событие А, и событие В. Аналогично произведением нескольких событий называется событие, заключающееся в том, что произошли все эти события. A B

7 Разность ( дополнение ) событий Разностью А \B событий А и В называется событие, состоящее в том, что А произошло, а В – нет.

8 Категории событий События А и В называются совместными, если они могут произойти оба в результате одного опыта. В противном случае события называются несовместными. События А 1, А 2,…, Ап образуют полную группу, если в результате опыта обязательно произойдет хотя бы одно из событий этой группы События называются равновозможными, если нет оснований считать, что одно из них является более возможным, чем другое

9 Аксиомы теории вероятностей Аксиома 1. Каждому случайному событию A соответствует определенное число Р ( А ), называемое его вероятностью и удовлетворяющее условию 0 P(A) 1 Аксиома 2. Вероятность достоверного события равна единице. Аксиома 3 ( аксиома сложения вероятностей ). Пусть A и В несовместные события. Тогда вероятность того, что произойдет хотя бы одно из этих двух событий, равна сумме их вероятностей : P(A+B)=P(A)+P(B) Аксиома 3 допускает обобщение на случай нескольких событий, а именно : если события A1, A2,..., An, попарно несовместны, то P(A1+ A An) = P(A1) + P(A2) + …+ P(An)

10 Схема случаев Если все события, которые могут произойти в результате данного опыта, а ) попарно несовместны ; б ) равновозможны ; в ) образуют полную группу, то говорят, что имеет место схема случаев.

11 Классическое определение вероятности Вероятностью события А называется отношение числа исходов опыта, благоприятных этому событию, к числу возможных исходов :

12 Свойства вероятности Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице. Доказательство. Так как достоверное событие всегда происходит в результате опыта, то все исходы этого опыта являются для него благоприятными, то есть т = п, следовательно, Р ( А ) = 1. Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю. Доказательство. Для невозможного события ни один исход опыта не является благоприятным, поэтому т = 0 и р ( А ) = 0. Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей. Доказательство. Случайное событие происходит при некоторых исходах опыта, но не при всех, следовательно, 0 < m < n, и из (1.1) следует, что 0 < p(A) < 1.

13 Относительная частота. Статистическое определение вероятности. относительная частоты W(A) события A - отношение числа опытов, в которых наблюдалось событие А, к общему количеству проведенных испытаний : где N – общее число опытов, М – число появлений события А. Статистической вероятностью события считают его относительную частоту или число, близкое к ней.

14 Геометрическая вероятность Пусть на отрезок L наудачу брошена точка. Вероятность того, что брошенная точка попадет на отрезок l, являющийся частью отрезка L – Аналогично для плоскости : Для трёхмерного случая :

15 Пример 1 Найти вероятность того, что точка, наудачу брошенная в круг, не попадет в правильный шестиугольник, вписанный в него.

16 Решение Пусть радиус круга равен R, тогда сторона шестиугольника тоже равна R. При этом площадь круга а площадь шестиугольника Следовательно,

17 Теорема сложения вероятностей. Вероятность р ( А + В ) суммы событий А и В равна Р ( А + В ) = р ( А ) + р ( В ) – р ( АВ ). Доказательство.

18 Следствие 1. Теорему сложения вероятностей можно распространить на случай суммы любого числа событий. Например, для суммы трех событий А, В и С : Р ( А + В + С ) = р ( А ) + р ( В ) + р ( С ) – р ( АВ ) – р ( АС ) – р ( ВС ) + р ( АВС )

19 Следствие 2. Если события А и В несовместны, то m АВ = 0, и, следовательно, вероятность суммы несовместных событий равна сумме их вероятностей : Р ( А + В ) = р ( А ) + р ( В ).

20 Определение Противоположными событиями называют два несовместных события, образующих полную группу. Если одно из них назвать А, то второе принято обозначать Теорема. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1: р ( А ) + р ( ) = 1.

21 Условная вероятность Определение 2.2. Назовем условной вероятностью р ( В / А ) события В вероятность события В при условии, что событие А произошло. Замечание. Понятие условной вероятности используется в основном в случаях, когда осуществление события А изменяет вероятность события В.

22 Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое событие произошло : р ( АВ ) = р ( А ) · р ( В / А ). Доказательство.

23 Независимые события Определение : Событие В называется независимым от события А, если появление события А не изменяет вероятности В, то есть р ( В / А ) = р ( В ). Замечание. Если событие В не зависит от А, то и А не зависит от В. Свойство независимости событий взаимно. Теорема умножения для независимых событий имеет вид : р ( АВ ) = р ( А ) · р ( В )

24 Вероятность появления хотя бы одного события Теорема Вероятность появления хотя бы одного из попарно независимых событий А 1, А 2,…, Ап равна р ( А ) = 1 – q1q2…qn, где qi – вероятность события, противоположного событию А i.

25 Пример. Сколько нужно произвести бросков монеты, чтобы с вероятностью не менее 0,9 выпал хотя бы один герб ? Решение. Вероятность выпадения герба при одном броске равна вероятности противоположного события ( выпадения цифры ) и равна 0,5. Тогда вероятность выпадения хотя бы одного герба при n бросках равна 1- (0,5) n. Тогда из решения неравенства 1- (0,5)n > 0,9 следует, что п > log210 4.

26 Основные формулы комбинаторики комбинаторика – наука, изучающая комбинации, которые можно составить по определенным правилам из элементов некоторого конечного множества

27 Перестановки Перестановки – это комбинации, составленные из всех п элементов данного множества и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок Р n = n! Пример. Сколько различных списков ( отличающихся порядком фамилий ) можно составить из 7 различных фамилий ? Решение. Р 7 = 7! = 2 · 3 · 4 · 5 · 6 · 7 = 5040.

28 Размещения Размещения – комбинации из m элементов множества, содержащего n различных элементов, отличающиеся либо составом элементов, либо их порядком. Число всех возможных размещений Количество размещений из n по m, обозначаемое A n m, равно убывающему факториалу A n m =n! / (n-m)! Пример. Сколько возможно различных вариантов пьедестала почета ( первое, второе, третье места ), если в соревнованиях принимают участие 10 человек ? Решение. A 3 10 = 10*9*8 = 10! / 7! = 720

29 Сочетания Сочетания – неупорядоченные наборы из т элементов множества, содержащего п различных элементов ( то есть наборы, отличающиеся только составом элементов ). Число сочетаний Пример. В отборочных соревнованиях принимают участие 10 человек, из которых в финал выходят трое. Сколько может быть различных троек финалистов ? Решение. В отличие от предыдущего примера, здесь не важен порядок финалистов, следовательно, ищем число сочетаний из 10 по 3:

30 Лекция закончена У кого есть вопросы ?