Решение систем линейных алгебраических уравнений Группа К-11 Стариков Владислав Александрович. - презентация

1 Харьковский колледж Государственного университета Телекоммуникации Решение систем линейных алгебраических уравнений Группа К-11 Стариков Владислав Александрович Харьков-2015

2 Для решения СЛАУ на компьютерах традиционно используются две группы численных методов, которые представлены на рисунке:

3 Системой m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида: где a ij и b i (i=1,…,m; b=1,…,n) – некоторые известные числа, а x 1,…,x n – неизвестные. В обозначении коэффициентов a ij первый индекс i обозначает номер уравнения, а второй j – номер неизвестного, при котором стоит этот коэффициент. Коэффициенты при неизвестных будем записывать в виде матрицы Числа, стоящие в правых частях уравнений, b 1,…,b m называются свободными членами. Совокупность n чисел c 1,…,c n называется решением данной системы, если каждое уравнение системы обращается в равенство после подстановки в него чисел c 1,…,c n вместо соответствующих неизвестных x 1,…,x n. Наша задача будет заключаться в нахождении решений системы.

4 При этом могут возникнуть три ситуации: Система может иметь единственное решение. Система может иметь бесконечное множество решений. Например, Решением этой системы является любая пара чисел, отличающихся знаком. И третий случай, когда система вообще не имеет решения. если бы решение существовало, то x 1 + x 2 равнялось бы одновременно нулю и единице.

5 Система линейных уравнений, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной. В противном случае, т.е. если система не имеет решений, то она называется несовместной. Рассмотрим способы нахождения решений системы.

6 МАТРИЧНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ Матрицы дают возможность кратко записать систему линейных уравнений. Пусть дана система из 3-х уравнений с тремя неизвестными:

7 Рассмотрим матрицу системы и матрицы столбцы неизвестных и свободных членов Найдем произведение

8 т.е. в результате произведения мы получаем левые части уравнений данной системы. Тогда, пользуясь определением равенства матриц, данную систему можно записать в виде: или короче AX=B.

9 Здесь матрицы A и B известны, а матрица X неизвестна. Её и нужно найти, т.к. её элементы являются решением данной системы. Это уравнение называют матричным уравнением. Пусть определитель матрицы отличен от нуля |A| 0. Тогда матричное уравнение решается следующим образом. Умножим обе части уравнения слева на матрицу A -1, обратную матрице A:. Поскольку A -1 A = E и EX = X, то получаем решение матричного уравнения в виде X = A -1 B. Заметим, что поскольку обратную матрицу можно найти только для квадратных матриц, то матричным методом можно решать только те системы, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных. Однако, матричная запись системы возможна и в случае, когда число уравнений не равно числу неизвестных, тогда матрица A не будет квадратной и поэтому нельзя найти решение системы в виде X = A -1 B.

10 Пример: Решить систему уравнений матричным методом Итак, х 1 =4,х 2 =3,х 3 =5.

11 ПРАВИЛО КРАМЕРА Рассмотрим систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными: Определитель третьего порядка, соответствующий матрице системы, т.е. составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы.

12 Составим ещё три определителя следующим образом: заменим в определителе D последовательно 1, 2 и 3 столбцы столбцом свободных членов

13 Теорема (правило Крамера) Если определитель системы Δ 0, то рассматриваемая система имеет одно и только одно решение, причём Таким образом, заметим, что если определитель системы Δ 0, то система имеет единственное решение и обратно. Если же определитель системы равен нулю, то система либо имеет бесконечное множество решений, либо не имеет решений, т.е. несовместна.

14 Пример: Решить систему уравнений методом Крамера Итак, х=1, у=2, z=3.

15 МЕТОД ГАУССА Ранее рассмотренные методы можно применять при решении только тех систем, в которых число уравнений совпадает с числом неизвестных, причём определитель системы должен быть отличен от нуля. Метод Гаусса является более универсальным и пригоден для систем с любым числом уравнений. Он заключается в последовательном исключении неизвестных из уравнений системы.

16 Вновь рассмотрим систему из трёх уравнений с тремя неизвестными: Первое уравнение оставим без изменения, а из 2-го и 3-го исключим слагаемые, содержащие x 1. Для этого второе уравнение разделим на а 21 и умножим на –а 11, а затем сложим с 1-ым уравнением. Аналогично третье уравнение разделим на а 31 и умножим на –а 11, а затем сложим с первым.

17 В результате исходная система примет вид: Теперь из последнего уравнения исключим слагаемое, содержащее x 2. Для этого третье уравнение разделим на, умножим на и сложим со вторым. Тогда будем иметь систему уравнений: Отсюда из последнего уравнения легко найти x 3, затем из 2-го уравнения x 2 и, наконец, из 1-го – x 1.

18 При использовании метода Гаусса уравнения, при необходимости, можно менять местами. Часто, вместо того, чтобы писать новую систему уравнений, ограничиваются тем, что выписывают расширенную матрицу системы: и затем приводят её к треугольному или диагональному виду с помощью элементарных преобразований.

19 К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие преобразования: перестановка строк или столбцов; умножение строки на число, отличное от нуля; прибавление к одной строке (столбцу) других строк (столбцов), умноженных на любое число; отбрасывание нулевой строки (столбца); транспонирование.

20 Пример: Решить систему уравнений методом Гаусса

21 Вернувшись к системе уравнений, будем иметь:

22 До сих пор я рассматривал системы, которые совместны и имеют единственное решение. Такие системы можно решить любым способом: по формулам Крамера, матричным методом, методом Гаусса. Однако на практике широко распространены еще два случая:по формулам Крамера, матричным методом Гаусса – Система несовместна (не имеет решений); – Система совместна и имеет бесконечно много решений. Примечание: термин «совместность» подразумевает, что у системы существует хоть какое-то решение. В ряде задач требуется предварительно исследовать систему на совместность. Для этих систем применяют наиболее универсальный из всех способов решения – метод Гаусса (в высшей математике принято использовать гауссовский метод последовательного исключения неизвестных).

23 Пример Решить систему линейных уравнений Что сразу бросается в глаза в этой системе? Количество уравнений – меньше, чем количество переменных. Если количество уравнений меньше, чем количество переменных, то сразу можно сказать, что система либо несовместна, либо имеет бесконечно много решений. И это осталось только выяснить.

24 Начало решения совершенно обычное – запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду:

25 (1) На левой верхней ступеньке нам нужно получить +1 или –1. Таких чисел в первом столбце нет, поэтому перестановка строк ничего не даст. Единицу придется организовать самостоятельно, и сделать это можно несколькими способами. Я поступил так: К первой строке прибавляем третью строку, умноженную на –1. (2) Теперь получаем два нуля в первом столбце. Ко второй строке прибавляем первую строку, умноженную на 3. К третьей строке прибавляем первую строку, умноженную на 5. (3) После выполненного преобразования всегда целесообразно посмотреть, а нельзя ли упростить полученные строки? Можно. Вторую строку делим на 2, заодно получая нужную –1 на второй ступеньке. Третью строку делим на –3. (4) К третьей строке прибавляем вторую строку. Наверное, все обратили внимание на нехорошую строку, которая получилась в результате элементарных преобразований: Ясно, что так быть не может.

26 Перепишем полученную матрицу обратно в систему линейных уравнений: Если в результате элементарных преобразований получена строка вида, где – число, отличное от нуля, то система несовместна (не имеет решений). Если же по условию требуется ИССЛЕДОВАТЬ систему на совместность, тогда необходимо оформить решение с привлечением понятия ранга матрицы и теоремы Кронекера-Капелли.ранга матрицы и теоремы Кронекера-Капелли

27 Литература 1. Высшая математика для экономистов /под.ред. А.Н. Романова. Учебник для ВУЗов. М.: ЮНИТИ с. 2. Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. – М.: Наука, – 664 с. 3. Демидович Б. П., Марон И. А., Шувалова Е. З. Численные методы анализа. – М.: Мир, 1967Волков Е. А. Численные методы. – М.: Наука, Карасев А.И., Аксютина З.М., Савельева Т.И. Курс высшей математики для экономических ВУЗов. М.: Высшая школа с., ил. 5. Згуровський М.З., Коваленко І.І., Міхайленко В.М. Вступ до компютерних, інформаційних технологій: Навч.посіб. – К.: Вид-во Європ. ун-ту (фінанси, інформ. системы, менеджм. і бізнес), с. 6. Лукянова В.В. Компютерний аналіз даних: Посібник. – К.: Видавничий центр Академія, – 344 с. (Альма-матер)

28 Благодарю за внимание!