Квадратное уравнение и его корни Учитель математики Иванисова З.А. - презентация

1

2 Квадратное уравнение и его корни Учитель математики Иванисова З.А.

3 различные способы решения квадратных уравненийЗнать: определение квадратного уравнения, различные способы решения квадратных уравнений Уметь: верно и рационально решать квадратные уравнения.Уметь: верно и рационально решать квадратные уравнения.

4 Квадратные уравнения

5 Квадратным уравнением называется уравнение вида a x 2 + b x + c = 0 где х – переменная, a, b и c – некоторые числа, причём а 0. a x 2 + b x + c = 0 Первый коэффициент Второй коэффициент Свободный член

6 Классификация. Квадратные уравнения. неполное полное а х 2 + в х + с = 0 приведённое x 2 + p x + q = 0 c = 0; a x 2 + b x = 0 b = 0; c = 0; a x 2 = 0 b = 0; a x 2 + c = 0

7 Полное квадратное уравнение ax²+bx+c=0, а,b, c- заданные числа, а0, x- переменная. а - первый коэффициент, в - второй коэффициент, с - свободный член.

8 Корни квадратного уравнения Выражение D = b 2 - 4ac называют дискриминантом квадратного уравнения. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней; если D = 0, то уравнение имеет один действительный корень; если D > 0, то уравнение имеет два действительных корня В случае, когда D = 0, иногда говорят, что квадратное уравнение имеет два одинаковых корня.

9 Когда уравнение решаешь, дружок, Ты должен найти у него корешок. Значение буквы проверить несложно, Поставь в уравнение его осторожно. Коль верное равенство выйдет у вас, То корнем значение зовите тотчас. О. Севастьянова

10 Девиз урока

11 Кроссворд 1. Уравнение вида ах²+вх+с=о 2.Квадратные уравнения, у которых первый коэффициент равен Уравнения с одной переменной, имеющие одни и те же корни. 4. Числа а,в и с в квадратном уравнении. 5. Значение переменной, при котором уравнение обращается в верное равенство. 6. Равенство, содержащее неизвестное. 7. Неотрицательное значение квадратного корня. 8. Древнегреческий математик, который нашел приемы решения квадратных уравнений без обращения к геометрии. 9. Квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов в или с равен «Дискриминант» - по-латыни. 11. Коэффициент с квадратного уравнения. 12. Французский математик, который вывел формулы, выражающие зависимость корней уравнения от его коэффициентов. Если вы разгадаете этот кроссворд верно, то сможете в выделенном вертикальном столбце прочитать термин, относящийся к теме

12 Ответы к кроссворду: 1. Квадратное. 2. Приведенное. 3. Равносильное. 4. Коэффициент. 5. Корень. 6. Уравнение. 7. Арифметический. 8. Диофант. 9. Неполное. 10. Различитель. 11. Свободный. 12. Виет. В выделенном столбце : ДИСКРИМИНАНТ

13 История квадратных уравнений Квадратные уравнения умели решать еще вавилоняне. Это было связано с решением задач о нахождении площадей земельных участков, а также с развитием астрономии. Простые уравнения люди научились решать более трех тысяч лет назад в Древнем Египте, Вавилоне и только 400 лет назад научились решать квадратные уравнения. Какие ученые – математики занимались изучением уравнений, их классификацией, способами решения?

14 А 3х 2 – 2х – 5 = 0 1. Какое уравнение можно решать извлечением квадратных корней? Д Х 2 =52. Какое уравнение решается вынесением общего множителя за скобки? И 7х х = 03. Какое уравнение можно решить, представляя в виде квадрата двухчлена? Н х 2 + 5х + 4 = 04. В каком уравнении надо применять общую формулу корней? О х 2 + 4х + 4 = 05. Какое уравнение решается по формуле, используя четный второй коэффициент? Т х = 06. Какое уравнение удобно решать по теореме Виета? Ф 2х х + 5 = 07. Какое уравнение можно решить разложением разности квадратов? Е х 2 + 2х = х Математическое «Поле чудес»

15 Самостоятельная работа Критерии оценки: Оценка «3» -5-6 уравнений; Оценка «4» -7-8 уравнений; Оценка «5» уравнений; Карточка Х 2 -9=0 Х 2 +6х =0 5 Х 2 – 7х =0 5Х 2 -8х +3=0 Х 2 -7х -8 =0 12- Х 2 =11 5х +2 =2-2 Х 2 6х+х-1=0 (10х-4) (3х+4)=0 х(х-5) =-4

16 Тест. 1….уравнением называется уравнение ax²+bx+c=0, где a, b, c-заданные числа, а0,x- неизвестное. 2.Если ах²+bx+c=0-квадратное уравнение(а0),то b называют… 3.Корни квадратного уравнения ax²+bx+c=0 вычисляют по формуле…. 4. Квадратное уравнение ax²+bx+c=0 (a0) имеет два различных действительных корня, если b²-4ас… ( ) 0. 1.Если ax²+bx+c=0 – квадратное уравнение, то а называют … коэффициентом, с - … членом. 2.Корни квадратного уравнения ax²+bx+c=0 (a0) вычисляют по формулам …. 3. Уравнение вида ax²+bx+c=0 (a0) называют … квадратным уравнением. 4.Квадратное уравнение ax²+bx+c=0 не имеет действительных корней, если b²-4ac … ( ) 0.

17 Ответы к тесту. 1.Квадратным 2.вторым коэффициентом 3. 4.> 1.первым, свободным членом 2. 3.полным 4

18 Решение квадратных уравнений «Предмет математики настолько серьёзен, что полезно не упускать случая делать его немного занимательным.» Паскаль«Предмет математики настолько серьёзен, что полезно не упускать случая делать его немного занимательным.» Паскаль В древней Индии были распространены публичные соревнования в решении задач. Такие задачи составлял знаменитый индийский математик XII века. Его имя мы узнаем следующим образом:В древней Индии были распространены публичные соревнования в решении задач. Такие задачи составлял знаменитый индийский математик XII века. Его имя мы узнаем следующим образом: Каждый получает один из 7 лепестков.Каждый получает один из 7 лепестков. Игра проходит следующим образом: Ребята решают задания под своим цветом. Сумма ответов на лепестках зеленого цвета соответствует первой букве имени ученого, Светло-коричневого – второй букве, голубого – третьей букве, оранжевого - четвертой букве, розового – пятой букве, бирюзового – шестой букве, сиреневого – седьмой букве.Игра проходит следующим образом: Ребята решают задания под своим цветом. Сумма ответов на лепестках зеленого цвета соответствует первой букве имени ученого, Светло-коричневого – второй букве, голубого – третьей букве, оранжевого - четвертой букве, розового – пятой букве, бирюзового – шестой букве, сиреневого – седьмой букве. На табло записаны буквы и под ними ответы, которые соответствуют этим буквам. Группа учащихся с лепестками одного цвета называет свой ответ и на табло находит соответствующую букву.На табло записаны буквы и под ними ответы, которые соответствуют этим буквам. Группа учащихся с лепестками одного цвета называет свой ответ и на табло находит соответствующую букву. В результате на доске вывешивается по одной букве и получается имя ученого Б А С Х А Р К / /7 6

19 Творческое задание Вот одна из задач индийского математика Χllв. Бхаскары Составьте к стихотворению уравнение и упростите его: Обезьянок резвых стая всласть поевши, развлекаясь. Их в квадрате часть восьмая на поляне забавлялась. А 12 по лианам..... Стали прыгать, повисая. Сколько было обезьянок, Ты скажи мне, в этой стае? " Квадратные уравнения в Европе в.в Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в 1202 г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи.

20 Алгоритм решения квадратного уравнения 1)Выполнить тождественные преобразования: перенесение выражения из правой части в левую, меняя знаки; деление обеих частей уравнения на одно и то же число; применение тождеств сокращенного умножения, приведение подобных членов, запись уравнения в стандартном виде. 2) Выделить в уравнении коэффициенты. 3) Вычислить дискриминант. Если D > 0, то вычислить корни по общей формуле Если D = 0, то вычислить корни по общей формуле Если D 0, то корней нет

21 Решите уравнение по алгоритму: 4х 2 -10=4х-2х^ 2

22 Алгоритм решения квадратного уравнения: ах²+вх+с=0 Определить коэффициенты а,в,с Если D0, то 1 корень Уравнение не имеет корней

23 Решение квадратных уравнений с параметром 1.Решите относительно х уравнение: х 2 –ах =0 2. Найдите значение m, при котором квадратное уравнение 3х 2 -2 mх-m+6=0, имеет один корень

24 Работа с учебником. Вычислите дискриминант уравнения 3х 2 – 18х-21=0. Это и есть номер в учебнике

25 Задания по выбору Франсуа Виет По праву достойна в стихах быть воспета О свойствах корней теорема Виета. Что лучше, скажи постоянства такого: Умножишь ты корни – и дробь уж готова. В числителе c, в знаменателе a, А сумма корней тоже дроби равна Хоть с минусом дробь, что за беда, В числителе b, в знаменателе a. Составьте квадратное уравнение по данным их корней: А) 2 и -3 Б) и В) два положительных корня Г) один отрицательный и один положительный корень Решите тест: Детский бассейн прямоугольной формы со сторонами 4 м и 5 м обрамлен дорожкой одинаковой ширины. Бассейн вместе с дорожкой занимает площадь, равную 56 м2. Какова ширина дорожки? Выберите уравнение соответствующее условию задачи А) (4+х) (5+х) =56 Б) 4(5+2х) =56 В) 5(4 +2х)=56 Г) (4+2х) (5 +2х) =56 бассейн х х х х

26 Нестандартная задача. Участники совещания обменялись рукопожатиями, и кто-то подсчитал, что всех рукопожатий было 66. Сколько человек явилось на заседание?

27 Домашнее задание Для сильных учащихся, решить всеми возможными способами уравнение 3х = 6х + 2х2 Остальные ученики решают уравнение х 2 -8х +7 =0, всеми возможными или хотя бы одним способом. Всем: составить квадратное уравнение: х 1 =2, х 2 =5, или х 1 =1 +2, х 2 =1 -2,

28 Подведение итогов урока. Вопросы классу:Вопросы классу: Ребята! Что мы сегодня узнали на уроке?Ребята! Что мы сегодня узнали на уроке? В какой момент Вам было трудно? Почему?В какой момент Вам было трудно? Почему? Что больше всего запомнилось и понравилось? Почему?Что больше всего запомнилось и понравилось? Почему?

29 Запомнили корни квадратного уравнения.

30