План: 1.Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл. 2.Методы интегрирования (по формулам, заменой переменной, по частям). 3.Понятие определенного. - презентация

1

2 План: 1. Понятие первообразной функции. Неопределенный интеграл. 2. Методы интегрирования (по формулам, заменой переменной, по частям). 3. Понятие определенного интеграла. Формула Ньютона- Лейбница. 4. Применение определенного интеграла для вычисления площадей криволинейных фигур.

3 Определение: Функция F(х) называется первообразной функции f(х) на данном промежутке, если для всех х из этого промежутка. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределенного интеграла, а сам процесс называется интегрированием

4 Основное свойство первообразной Теорема: Если функция f(х) непрерывна при, то для f(х) существует первообразная F(х) на Х. Замечание 1: Условие непрерывности не является необходимым для существования первообразной. Любая первообразная для функции f на промежутке I может быть записана в виде F (x)+C, где F (x)-одна из первообразных для функции f (x) на промежутке I, а C- произвольная постоянная.

5 Три правила нахождения первообразных Правило 1. Если F есть первообразная для f, а G- первообразная для g, F+G есть первообразная для f + g. Правило 2. Если F есть первообразная для f, а k- постоянная, то функция k F –первообразная для kf. Правило 3. Если F (x) есть первообразная для f (x), а k и b - постоянные, причем k не равно 0, то 1/k F ( kx +b) есть первообразная для f (kx+b).

6 Таблица первообразных

7 Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределенного интеграла, а сам процесс называется интегрированием Определение: Множество всех первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом промежутке и обозначается

8 Основные свойства неопределенного интеграла:

9 Таблица интегралов основных функций

10 Методы интегрирования (по формулам, заменой переменной, по частям). 1.Табличный. 2. Сведение к табличному преобразованием подынтегрального выражения в сумму или разность. 3. Интегрирование с помощью замены переменной (подстановкой). 4. Интегрирование по частям.

11 Табличный.

12 Сведение к табличному преобразованием подынтегрального выражения в сумму или разность.

13 Интегрирование методом замены переменной

14 Интегрирование по частям Пример:

15 Понятие определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница Вычислим площадь криволинейной трапеции. Разобьем отрезок [a; b ] на n равных частей. Проведем через полученные точки прямые, параллельные оси OY. Заданная криволинейная трапеция разобьется на n частей. Площадь всей трапеции приближенно равна сумме площадей столбиков. по определению, его называют определенным интегралом от функции y=f(x) по отрезку [a; b ] и обозначают так: по определению, его называют определенным интегралом от функции y=f(x) по отрезку [a; b ] и обозначают так:

16 Связь между определенным интегралом и первообразной (Формула Ньютона - Лейбница) Для непрерывной функции где F(x) – первообразная функции f(x).

17 Свойства определенного интеграла

18 Применение определенного интеграла для вычисления площадей криволинейных фигур. Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной положительной на промежутке [a;b] функции f(x), осью x и прямыми x=a и x=b:

19 Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной отрицательной на промежутке [a;b] функции f(x), осью x и прямыми x=a и x=b: Если функция изменяет знак на промежутке [a;b], то

20 Вычисление площадей и объемов с помощью определенного интеграла Площадь фигуры, ограниченной графиками непрерывных функций y=f(x) и y=g(x) таких, что для любого x из [a;b], где a и b – абсциссы точек пересечения графиков функций:

21 Объем тела, полученного в результате вращения вокруг оси x криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной и неотрицательной функции y=f(x) на отрезке [a;b]: