УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ (II) Уравнения второго порядка. - презентация

1 УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ (II) Уравнения второго порядка

2 Одним из наиболее распространенных уравнений с частными производными второго порядка является волновое уравнение, описывающее различные виды колебаний.

3 Одномерное волновое уравнение описывает продольные колебания стержня, сечения которого совершают плоскопараллельные колебательные движения.

4 Двумерное волновое уравнение используется для исследования колебаний тонкой пластины (мембраны).

5 Трехмерное волновое уравнение описывает распространение волн в пространстве (например, звуковых волн в жидко- жидкости).

6 Рассмотрим одномерное волновое уравнение c начальными условиями

7 Рассмотрим явную разностную схему «крест» для решения данной задачи.

8 Заменим в уравнении вторые производные искомой функции U по t и х их конечно- разностными соотношениями.

9 Отсюда можно найти явное выражение для значения сеточной функции на (j + 1)-м слое:

10 Здесь, для определения неизвестных значений на (j + 1)-м слое нужно знать решения на j-м и (j 1)-м слоях. Поэтому начать счет можно лишь для второго слоя.

11 решения на нулевом и первом слоях находятся с помощью начальных условий. На нулевом слое имеем

12 Для получения решения на первом слое воспользуемся вторым начальным условием. Производную заменим конечно- разностной аппроксимацией. Из этого соотношения можно найти значения сеточной функции на первом слое:

13 Построим неявную схему. Вторую производную по t в уравнении аппроксимируем, как и ранее, по трехточечному шаблону с помощью значений сеточной функции на слоях j - 1, j, j + 1.

14

15 Из этого соотношения можно получить систему уравнений относительно неизвестных значений сеточной функции на (j + 1)-м слое:

16 ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Интегральным уравнением называется уравнение, неизвестная функция в котором содержится под знаком интеграла. В общем случае интегральное уравнение имеет вид

17 Виды интегральных уравнений. Уравнения, в которые искомая функция входит линейно, называются линейными интегральными уравнениями.

18 Одним из них является уравнение Фредгольма первого рода Уравнение Фредгольма второго рода имеет вид

19 уравнение Вольтерра первого рода: уравнение Вольтерра второго рода

20 Для решения линейных интегральных уравнений строится итерационный процесс, аналогичный методу простой итерации для нелинейного уравнения.