НОД И НОК И ИХ ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ Автор работы: Корнева Кристина Александровна ученица 6 «а» класса Научный руководитель: Крутикова Елена Петровна учитель математики

ЧТО ТАКОЕ НОД И НОК?

НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ Например: (18, 27)= 9(36, 54 и 72) = 18 Для чисел а 1,а 2, …, an он обозначается (а 1,а 2, …, an). Наибольшее натуральное число, на которое делится каждое из данных целых чисел, называется наибольшим общим делителем этих чисел.

Ребята получили на новогодней ёлке одинаковые подарки. Во всех подарках вместе было 123 апельсина и 82 яблока. Сколько ребят присутствовало на ёлке? На ёлке ребята получили одинаковые подарки Значит число детей должно быть делителем числа апельсинов и делителем числа яблок. Делители числа 123 – это числа 1, 3, 41,123. Делители числа 82 – это числа 1, 2, 41,82. Есть только два общих делителя чисел 123 и 82: число 1 и число 41. Из условия ясно, что на ёлке было несколько ребят, значит, их 41.

Сначала запишем делители каждого из них в порядке возрастания: так будет легче высмотреть, какие числа встретятся дважды. Найдём наибольшие общие делители чисел 78 и 195 Числа, встретившиеся дважды, мы подчеркнули - это и есть общие делители. Выпишем их отдельно: 1, 3, 13, 39. Делители числа 78: 1, 2, 3, 6, 13, 26, 39, 78. Наибольшим из них является число 39. Оно называется наибольшим общим делителем чисел 78 и 195. Делители числа 195: 1, 3, 5, 13, 15, 39, 65, 195.

Наибольший общий делитель двух натуральных чисел - это наибольшее число, на которое оба данных числа делятся. Каждый делитель числа НОД(m,n) является общим делителем чисел m и n, наоборот, каждый их общий делитель является делителем числа НОД(m,n). Наибольший общин делитель натуральных чисел m и n обозначается НОД(m,n) по первым буквам слов « Наибольший Общий Делитель»

КАК НАЙТИ НОД?

РАЗЛОЖЕНИЕ НА ПРОСТЫЕ МНОЖИТЕЛИ Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел, надо: 1)Разложить их на простые множители; 2)Из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел; 3)Найти произведение оставшихся множителей.

АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА Чтобы найти наибольший общий делитель двух целых положительных чисел, можно воспользоваться алгоритмом Евклида: нужно сначала большее число разделить на меньшее, затем второе число разделить на остаток от первого деления, потом первый остаток - на второй и т.д. Последний ненулевой положительный остаток в этом процессе и будет наибольшим общим делителем данных чисел.

Алгоритм Евклида имеет много применений Равенства, определяющие его, дают возможность представить наибольший общий делитель d чисел a и b в виде d = ax + by (x; y - целые числа), что позволяет находить решение диофантовых уравнений. Алгоритм является средством для представления рационального числа в виде цепной дроби, что хорошо представлено в системах календаря.

АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА Обозначив исходные числа через а и b, положительные остатки, получающиеся в результате делений, через r 1, r 2, …, r n, а неполные частные через q 1, q 2,..., q n+1, можно записать алгоритм Евклида в виде цепочки равенств : a = bq 1 +r 1, b = r 1 q 2 +r 2, r n-2 = r n- 1q n + r n, r n-1 = r n q n+1. Приведем пример. Пусть а = 777, b = 629. Тогда 777 = , 629 = , 148 = 374. Последний ненулевой остаток 37 и есть наибольший общий делитель чисел 777 и 629.

ДИОФАНТОВЫЕ УРАВНЕНИЯ Диофантовыми уравнениями называют алгебраические уравнения или системы алгебраических уравнений с целыми коэффициентами, для которых надо найти целые или рациональные решения. При этом число неизвестных в уравнениях должно быть не менее двух (если не ограничиваться только целыми числами). Диофантовые уравнения имеют, как правило, много решений, поэтому их называют неопределенными уравнениями. Это, например, уравнения: 3 х + 5 у = 7; x2 + y2 = z2; 3 х у 3 = 5z3. Названы они по имени греческого математика Диофанта, жившего в III в. Его книга «Арифметика» содержала большое количество интересных задач, ее изучали математики всех поколений.

АЛГОРИТМ ЕВКЛИДА И КАЛЕНДАРЬ Год - это время, за которое Земля совершает по своей орбите полный оборот вокруг Солнца. Астрономы подсчитали, что год составляет 365 сут 5 ч 48 мин 46 с или 365, сут. Но пользоваться таким сложным числом очень неудобно. Хотелось бы, чтобы в году было целое число суток.

Впервые порядок в счете времени навел в I в. до н.э. римский император Юлий Цезарь. Он постановил считать одни годы: по 365 суток, а другие по 366, чередуя их по виду: три года подряд коротких, четвертый - длинный. Гораздо позже, с введением христианского летосчисления, високосным стали считать каждый год, порядковый номер которого делится на 4. Этот календарь в честь Юлия Цезаря называется юлианским. По нему средняя продолжительность года составляет 365 сут 6 ч. больше истинной лишь на 11 мин 14 с. Однако и это решение оказалось неудовлетворительным. К XVI в. ошибка, накапливаясь, ставила уже около 10 сут.

Следующую реформу календаря Григорий XIII- папа римский. Он создал специальную комиссию для разработки по которой весеннее равноденствие выпадало бы на 21 марта и впредь больше не отставало от этой даты. Решение папы Григория было вызвано трудностями использования юлианского календаря при расчетах дат церковных праздников. Решение комиссии, утвержденное Григорием XIII в 1582 г., было достаточно простым: сдвинуть числа на 10 оставить чередование простых и високосных лет, при этом решили, что если порядковый номер года оканчивается двумя нулями, но число сотен не делится на 4, то этот год простой. Например, по этому правилу 1900 простой, а високосный.

В наше время расхождение между юлианским и новым, григорианским календарями составляет 13 дней, поскольку с тех пор накопилось еще три дня (в 1700, 1800 и 1900 гг.). Из 400 лет по юлианскому календарь 100 високосных, а по григорианскому - 97, поэтому продолжительность григорианского года составляет 365, или 365,2425 сут, т.е. 365 сут 5 ч 49 мин 12 с, т.е. она больше истинной лишь на 26 с.

Нахождение наибольшего общего делителя двух чисел оказывается полезным при сокращении дробей: после сокращения на наибольший общий делитель числителя и знаменателя полученная дробь будет уже несократимой

НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ Например: (6, 8) = 24(21,42,63) = 126 Для чисел а 1,а 2, …, an он обозначается [а 1,а 2, …, an]. Наименьшее натуральное число, делящееся на каждое из данных целых чисел, называется наименьшим общим кратным этих чисел.

НОК Если числа а и b одного знака, то [а, b] - ab/(a,b), где [а, b] - наибольший общий делитель чисел а и b. Таким образом, вычисление наименьшего общего кратного чисел можно свести к вычислению их наибольшего общего делителя. Если же нам известны разложения чисел а и b на простые множители, то получить наименьшее общее кратное чисел а и b можно так: выписать подряд простые числа, входящие хотя бы в одно из разложений, причем если простое число p входит k раз в разложение одного из чисел, l раз в разложение другого и k < l, то число p следует выписать l раз; произведение всех выписанных чисел и даст наименьшее общее кратное чисел а и b.

ЗАДАЧА Экскурсантов можно посадить в лодке Если числа а и b одного знака, то [а, b] - ab/(a,b), где [а, b] - наибольший общий делитель чисел а и b. Таким образом, вычисление наименьшего общего кратного чисел можно свести к вычислению их наибольшего общего делителя. Если же нам известны разложения чисел а и b на простые множители, то получить наименьшее общее кратное чисел а и b можно так: выписать подряд простые числа, входящие хотя бы в одно из разложений, причем если простое число p входит k раз в разложение одного из чисел, l раз в разложение другого и k < l, то число p следует выписать l раз; произведение всех выписанных чисел и даст наименьшее общее кратное чисел а и b.и по 8 человек или по 12 человек в каждую. В том и в другом случае свободных мест не останется. Сколько было экскурсантов, если их больше 80, но меньше 100? Чтобы узнать сколько было экскурсантов, которых можно было посадить в лодкеи по 8 или 12 человек, нужно, чтобы их число было кратно и 8, и 12. Запишем ряды кратных этих чисел и подчеркнем в них общие числа. Ряд кратных числа 12: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108… Ряд кратных числа 8: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, 104… Так, как в задаче сказано, что экскурсантов было больше 80 и меньше 100, то подходит число 96.

Наименьшее общее кратное натуральных чисел m и n обозначается HOK(m,n) - по первым буквам слов «Наименьшее Общее Кратное» Каждое кратное числа НОК(т,n) является общим кратным чисел m и n, и, наоборот, каждое их общее кратное является кратным числа НОК(m,n). Например, зная, что НОК(40,150) = 600, можно сразу сказать, что общими кратными чисел 40 и 150 будут числа ряда 600, 1200, 1800, 2400, 3000, ….

ПРИМЕНЕНИЕ НОД И НОК

Найдите наибольший общий делитель чисел : а) 242 и 132; б) 729 и 216 Найдите наименьшее общее кратное чисел: а) 156 и 91; б) 729 и 343. Вычислите: а) НОД(91,169); б) НОК (144,216); в) НОК(169,1001).

Валя и Вера покупают одинаковые почтовые наборы. Каждый набор состоит из открытки с конвертом. Валя уплатит за наборы 65 руб., а Вера - на 26 руб. больше. Сколько стоит один набор? Сколько наборов купила Валя? А Вера? Длина комнаты 575 см, а ширина 375 см. Пол в комнате нужно выложить декоративными плитками в форме квадрата. Каков наибольший возможный размер такого квадрата? Сколько плиток такого размера, понадобится?

В КОНТРОЛЬНО-ИЗМЕРИТЕЛЬНЫХ МАТЕРИАЛАХ ПО МАТЕМАТИКЕ ВКЛЮЧЕНЫ УПРАЖНЕНИЯ НА БОЛЕЕ ГЛУБОКОЕ ЗНАНИЕ ИССЛЕДУЕМОЙ ТЕМЫ: Найдите все пары натуральных чисел, наименьшее общее кратное которых равно 78, а наибольший общий делитель равен 13. РЕШЕНИЕ: НОК ( x, y) = 78 НОД ( x, y) = 13 Делители числа 78: 2, 3, 6, 13, 26, 39, 78. Числа кратные 13: 13, 26, 39, 52, 65, и 13НОК (78 и 13) = 78НОД (78 и 13) = и 26НОК (39 и 26) = 78НОД (39 и 26) = 13

Найдите все пары натуральных чисел, разность которых 66, а наименьшее общее кратное равно 360. РЕШЕНИЕ: m – n = 66 m= n + 66 НОК ( m, n ) = 360 НОК ( n + 66, n) = : n 360 : n + 66 Делители числа 360: 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 60, 72, 90, 120, 180, 360. Мы видим: 90 – 24 = 66 НОК (90 и 24) = 360

Натуральные числа a, b и с таковы, что НОК(a,b) = 60, НОК(a,c) = 270 (НОК(x, y) - наименьшее общее кратное чисел х и у). Найдите НОК(b,с). РЕШЕНИЕ: НОК (a, b) = 60 НОК ( a, c) = 270 НОК ( b, c) = ? Делители числа 60: 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60. а = 2, b = 60НОК (2 и 60) = 60

Половину книжной занимают словари толщиной 5 см, другую половину – энциклопедии толщиной 7 см. Докажите, что на полке стоит не меньше 12 книг. РЕШЕНИЕ: НОК (5 и 7) = 35 мм – ½ полки 35 2 = 70 мм – вся полка, тогда 35 : 5 = 7 словарей 35 : 7 = 5 энциклопедий = 12 – всего книг

Треть книжной полки занимают словари толщиной 5 см, а оставшиеся две трети – энциклопедии толщиной 7 см. Докажите, что на полке стоит не меньше 17 книг. РЕШЕНИЕ: а : 52 а : 7 НОК ( 5 и 7) = 35 – 1/3 полки 2 а = 70 – 2/3 полки 35 3 = 105 см – вся полка, тогда 35 : 5 = 7 словарей 70 : 7 =10 энциклопедий = 17 книг - всего

Треть книжной полки занимают книги толщиной 12 мм, другую треть – книги толщиной 15 мм и последнюю треть – книги толщиной 18 мм. Все книги разные. Олег читая по одной книге в день, прочитал их меньше чем за два месяца. Сколько книг стоит на полке (перечислите все возможности)? РЕШЕНИЕ: НОК ( 12, 18 и 15) = 180 мм – 1/3 полки 180 : 12 = 15 книг по 12 мм 180 : 18 = 10 книг по 18 мм 180 : 15 = 12 книг по 15 мм = 37 книг - всего