Предел последовательности подготовила ученица 10 «а» класса Кяйхидис Елизавета учитель:Мисикова Ф.М.

В математике пределом последовательности называют объект, к которому члены последовательности в некотором смысле стремятся или приближаются с ростом номера. Предел одно из основных понятий математического анализа. Понятие предела использовалось ещё Ньютоном во второй половине XVII века и математиками XVIII века, такими как Эйлер и Лагранж, однако они понимали предел интуитивно. Первые строгие определения предела последовательности дали Больцано в 1816 году и Коши в 1821 году.

Геометрическая прогрессия: b 1,b n+1 = b n · q, где q- знаменатель (y n ) : 2,4,8… 12, 2 4, 3 8… y(n)= y n = 2 n, nN Арифметическая прогрессия: a 1, a n+1 = a n +d, где d – разность (y n ): 2,5,8… 12, 2 5, 3 8… y(n)= y n = 3n-1, nN

Определение. Функцию вида у= f(х), х N называют числовой последовательностью (функция натурального аргумента). Обозначение: у = f(n) = у n или (у n ): у 1, у 2,у 3,… Примеры. 1) 2,3,5,7,9,11,13,15,17,…; 2) арифметические и геометрические прогрессии, 3) 5,5,5,…-постоянная или стационарная

Способы задания последовательностей Словесный (описывается словами правило) последовательность четных чисел: 2,4,6,8,… Реккурентный (последующий член выражается через предыдущий) арифметическая прогрессия: a 1, a n+1 = a n +d, где d - разность геометрическая прогрессия: b 1,b n+1 = b n · q, где q- знаменатель Аналитический (формулой n-го члена) у n = n 2 у n = C, где С=const у n = 2 n

Ограниченная последовательность -ограничена и сверху и снизу Пример: -2,3,-2,3,… М=3 или 4, m=-2 или -3 Ограниченная сверху: все ее члены не больше некоторого числа, т. е. у n М, М- верхняя граница Пример. -1,-4,-9,-16,… -n 2,… ограничена сверху, М=-1,0,… Ограниченная снизу: все ее члены не меньше некоторого числа, т.е. у n m, m- нижняя граница Пример. 1,4,9,16,… n 2,… ограничена снизу m=1,½, …

Монотонные последовательности Возрастающая последовательность: каждый член больше предыдущего,т.е. у n+1 > у n Пример. 1,4,9,16,… n 2,… Убывающая последовательность: каждый член меньше предыдущего,т.е. у n+1 < у n Пример. -1,-4,-9,-16,…-n 2,…

y n =2 n 2,4,8,16,32,…- q= Возрастающая, ограниченная снизу y n =3 n -? q= ? у = q n -, q>1 Вывод ? y n =(1/2) n ½,1/4,1/8,1/16,1/32,…- q= Убывающая, ограниченная снизу, сверху, т.е. ограниченная y n =(1/3) n -? q= ? у = q n и 0

Понятие сходящейся последовательности (у n ): 1,3,5,7,9,…,(2n-1),... Расходится Нет точки сгущения Нет предела (х n ): 1,1/2,1/3,1/4,1/6,…1/n,.. Сходится Точка сгущения-0 Предел последовательности-0

Окрестность точки интервал (a-r, a+r) –окрестность точки a радиуса r. Пример (5,9;6,1)-окрестность точки 6 радиуса 0,1 (-0,1;0,1)- окрестность точки ?

Предел последовательности Число b-предел последовательности (у n ), если в любой заранее выбранной окрестности точки b содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера. Обозначение: 1) lim у n = b или n 2) у n b

Примеры. (у n ):1,1/2,1/3,1/4,…,в любой окрестности 0 содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера, то у n =1/n 0 (у n ): ½,1/4,1/8,1/16,1/32,…; в любой окрестности 0 содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера, то y n =(1/2) n 0 (у n ): 2,4,8,16,32,…-нет точки около которой находятся все члены последовательности,начиная с некоторого номера, то y n =2 nнет (у n ): 5,5,5,…, в любой окрестности 5 содержатся все члены последовательности, начиная с некоторого номера, то y n =55

Формулы 1) lim 1/n = 0 n 2) lim q n = 0, если 0

Свойства Если последовательность сходится, то только к одному пределу. Если последовательность сходится, то она ограничена. Обратное-неверно:1,2,3,1,2,3,…-ограниченная последовательность, но она не сходится Теорема Вейерштрасса Если последовательность монотонна и ограничена, то она сходится.

Правила вычисления пределов Если lim х n = b и lim у n =c, то n n 1)Предел суммы равен сумме пределов: lim (х n + у n ) = b+ c n 2)Предел произведения равен произведению пределов: lim (х n ·у n ) = b·c n 3)Предел частного равен частному пределов: lim (х n :у n ) = b:c n 4)Постоянный множитель можно вынести за знак предела: lim (k· х n ) = k · b n