Производная и её применение в экономике Подготовили: Варегина Яна, Кесова Юлия, 10 б

Современный экономист должен хорошо владеть количественными методами анализа. К такому выводу нетрудно прийти практически с самого начала изучения экономической теории. Математика является не только орудием количественного расчета, но также методом точного исследования. Ф.Энгельс в своё время заметил, что "лишь дифференциальное исчисление даёт естествознанию возможность изображать математически не только состояния, но и процессы: движение".

В ХIХ в. в области экономической теории произошло событие, которое впоследствии привело к подлинному перевороту в методах экономического поведения людей или фирм, изменило характер научно-экономического мышления. Во второй половине века была сформулирована теория маржинализма. Классиками этой теории стали экономисты австрийской школы К. Менгер ( ), Ф. фон Визер ( ), Е. фон Бём-Баверк ( ), а также английский экономист У.С. Джевонс ( ). "Marginal" в переводе с английского языка означает "находящийся на самом краю", "предельный", "граничный". К предельным величинам в экономике относятся: предельные издержки, предельный доход, предельная полезность, предельная производительность, предельная склонность к потреблению и т.д Маржинализм

Пример 1. Пусть производительность труда y есть функция от времени y:x = f(t). Если переменная t получит приращение t, то изменение производительности труда за данный промежуток времени составит y = f(t+ t) – f(t) Среднее изменение производительности труда за единицу времени определим отношением y\ t = f(t+ t) – f(t)\ t. Предел этого отношения, если он существует, характеризует рост производительности труда = f(t) Применение понятия производной

Пример 2. Рост численности населения N в течение определенного времени t есть функция N = f(t). Предел, если он существует, определяет скорость роста населения. = N(t)

Пример 3. Расход природных ресурсов Q в течение времени t есть функция Q = f(t). Предел, если он существует определяет скорость расхода ресурсов. = Q(t)

Пример 4. Выручка u от продаж товара зависит от его количества х:u = u(x). Предел, если он существует, называется предельной выручкой. = u(x)

Пример 5. Издержки производства К зависят от количества выпускаемой продукции х:К = К(х). Предел, если он существует, называется предельными издержками. = К(х)

Пример 6. Процесс износа оборудования Т в течение определенного времени t есть функция Т = Т(t). Предел, если он существует, определяет скорость износа оборудования. = Т(t)

Использование производной для решения задач по экономической теории Задача 1 Цементный завод производит Х т. цемента в день. По договору он должен ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 т. цемента. Производственные мощности завода таковы, что выпуск цемента не может превышать 90 т. в день. Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид: К = - х³+98 х²+200 х. Удельные затраты составят К/х= - х²+98 х+200 Наша задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения функции У = - х²+98 х+200 на промежутке [20;90]. y = - 2x+98 y = 0, - 2x+98 = 0, x = 49 Вывод: x = 49, критическая точка функции. Вычисляем значение функции на концах промежутках и в критической точке. f(20) = 1760, f(49) = 260, f(90) = 320. Таким образом, при выпуске 49 тонн цемента в день удельные издержки максимальны, это экономически не выгодно, а при выпуске 90 тонн в день минимально, следовательно, можно посоветовать работать заводу на предельной мощности и находить возможности усовершенствовать технологию, так как дальше будет действовать закон убывающей доходности. И без реконструкции нельзя будет увеличить выпуск продукции.

Задача 2 Предприятие производит Х единиц некоторой однородной продукции в месяц. Установлено, что зависимость финансовых накопления предприятия от объема выпуска выражается формулой f(x) = - 0,02x³+600x Исследовать потенциал предприятия. Функция исследуется с помощью производной. f(x) = - 0,06x²+600 f(x) = 0, - 0,06x²+600 = 0, х = 100 Получаем, что при х = 100 функция достигает максимума. Вывод: финансовые накопления предприятия растут с увеличением объема производства до 100 единиц, при х =100 они достигают максимума и объем накопления равен денежных единиц. Дальнейший рост производства приводит к сокращению финансовых накоплений.

Математика успешно проникает в другие науки, во многом это происходит благодаря дифференциации. Язык математики универсален, что является эффективным отражением универсальности законов окружающего нас многообразия мира. Понятие производной в экономике отвечает на многие важные вопросы: - предельные показатели в микроэкономике помогают определить меру реакции величины спроса на данный товар или услугу - оптимальный уровень налогообложения - максимизация производства, где необходимо выполнение условия: предельные издержки должны равняться предельному доходу