«Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла» Тема урока: «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла» Учитель математики Кутенкова Т.В. ГБОУ СОШ 527 Санкт-Петербург 11 класс. Алгебра и начала математического анализа.

- обучающие : повторить и обобщить типы задач на вычисление площадей фигур, в том числе фигур сложной геометрической конфигурации, классифицировать задачи, систематизировать способы решения, скорректировать знания, познакомиться с историей развития интегрального исчисления; - развивающая: научить мыслить и оперировать математическими знаниями, стимулировать мышление учащихся; - воспитательная: развивать у учащихся коммуникативные компетенции (умение работать в группе, культуру общения), способствовать развитию интеллектуальной деятельности учащихся. "

I. Блиц – опрос. Повторение основных теоретических знаний II. Практическое применение знаний III. Защита домашних задач IY. Постановка проблемы (обобщение) Y. Коррекция знаний по теме YI. Историческая справка YII. Подведение итогов YIII. Домашнее задание

1. В чем заключается геометрический смысл интеграла? 2. Какую фигуру называют криволинейной трапецией? 3. Как найти площадь фигуры в случае, если f(x)0 на [a;b]? Интеграл от неотрицательной непрерывной функции есть площадь соответствующей криволинейной трапеции Фигура, ограниченная отрезком оси абсцисс, прямыми x=a, x=b, графиком непрерывной функции f(x)0 на [a;b]

y = х², у = 0, х = -2, х = 2y = 2 - х², у =1 у = х², у = 2 у = х², у = 2, у = 1 y = arccos x, у = 0, x = -1

Какие из заданных фигур являются криволинейными трапециями? Почему фигура на рис. 4 не является криволинейной трапецией? Площадь каких фигур можно найти как разность площадей криволинейных трапеций? Площадь какой фигуры можно найти без помощи интеграла? Вычислите площади фигур I гр. на рис. 2 II гр. на рис 3 III гр. на рис 5

Выразите с помощью интеграла площади фигур, изображенных на рисунках: 1)2)3) 4)5)6)

Вычислите интегралы: 1). 2). 3). 4). 10,

График функции у=х² - парабола График функции у=½ х² -парабола У=2 х – прямая S ф = S ОАЕ + S ЕАВ = (S ОАД - S ОЕД ) +(S ДАВС – S ДЕВС) Х±2±10 У410 Х±4±2±10 у 820,50 х 04 у 08 E

Выполним вычисления, применив свойство аддитивности интеграла

S ф = S ВСD + S DСМ + S DMN + S MNF = = S ABCD – S ABD + S DCM + S DMN + S MNFK - S MKF

Выполним вычисления, применив свойство аддитивности интеграла

Проблема: Как с помощью интеграла вычислить площадь фигуры, не являющейся криволинейной трапецией? Задачи на вычисление площадей фигур с помощью интеграла можно классифицировать по виду геометрических фигур, площади которых необходимо вычислить

Фигура, полученная отсечением от криволинейной трапеции прямоугольника Фигура, ограниченная графиком непрерывной функции f(x)0 на [a;b] Фигура, ограниченная графиками непрерывных функций y=f(x), y=g(x), f(x)g(x) 0 и прямыми x=a, x=b Фигура, ограниченная графиками непрерывных функций, заданных различными формулами на различных промежутках

Перемещение фигуры (сдвиг вдоль оси Оу) Применение свойств интеграла (свойство аддитивности) Свойство симметрии фигуры

Пример. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями y = x, y = 5 – x, x = 1, x = 2. x y y = x y = 5 - x A B C D

Немного истории «Интеграл» придумал Якоб Бернулли (1690 г.) «восстанавливать» от латинского integro «целый» от латинского integer от латинского primitivus – начальный, primitivus – начальный, ввел ввел Жозеф Луи Лагранж (1797 г.) «Примитивная функция»,

Интеграл в древности Этот метод был подхвачен и развит Архимедом, и использовался для расчёта площадей парабол и приближенного расчёта площади круга. Евдокс Книдский Архимед Первым известным методом для расчёта интегралов является метод исчерпания Евдокса (примерно 370 до н. э.), который пытался найти площади и объёмы, разрывая их на бесконечное множество частей, для которых площадь или объём уже известен.

Исаак Ньютон ( ) Наиболее полное изложение дифференциального и интегрального исчислений содержится в «Методе флюксий...» «Методе флюксий...» (1670–1671, опубликовано в 1736). Переменные величины - флюенты(первообразная или неопределенный интеграл) Скорость изменения флюент – флюксии (производная)

Лейбниц Готфрид Вильгельм ( ) - впервые использован Лейбницем в конце XVII века Символ образовался из буквы S сокращения слова summa (сумма)

Определенный интеграл И. Ньютон Г. Лейбниц где Формула Ньютона - Лейбница

Таким образом, уже Архимед успешно находил площади фигур, несмотря на то, что в математике его времени не было понятия интеграла Но лишь интегральное исчисление дает общий метод решения всех подобных задач Недаром даже поэты воспевали интеграл

Что сделали Что планировали Обобщить знания по теме «Вычисление площадей плоских фигур с помощью определённого интеграла» 1. Классифицировали задачи 2. Систематизировали способы решения 3. Скорректировали знания 4. Совершили экскурс в историю 5. Подготовились к контрольной работе по данной теме.

Символ интеграла в жизни

Навыки и умения отметка 1. Построение графиков функций 2. Выделение площади искомой фигуры 3. Определение общих точек графиков функций и пределов интегрирования 4. Выражение площади искомой фигуры через площади криволинейных трапеций или других фигур 5. Применение свойств фигур для упрощения решения

СПАСИБО ЗА УРОК! Домашнее задание: 1.п. 58; , 1018