Решение задач на тему: «Растворы, смеси и сплавы» МАОУ Абатская средняя общеобразовательная школа 2 Пестова Ольга Васильевна, учитель математики

Трудности при решении этих задач могут возникать на различных этапах: -составления математической модели (уравнения, системы уравнений, неравенства и т. п.); -решения полученной модели; -анализа математической модели (по причине кажущейся ее неполноты: не хватает уравнения в системе и пр.).

Основными компонентами в этих задачах являются: -масса раствора (смеси, сплава); -масса вещества; -доля (% содержание) вещества.

Урок по решению этих задач целесообразно провести в ходе обобщающего повторения по алгебре в конце 9 класса. Цель урока :обобщение, углубление, систематизация знаний, умений, навыков учащихся, развитие творческих способностей учащихся.

Теоретические сведения. Пусть m г некоторого вещества растворяется в М г воды, тогда: - доля вещества в растворе; - доля воды в растворе; *100% - концентрация раствора, или процентное содержание вещества в растворе; *100% - процентное содержание воды в растворе; При этом:*100% +*100% = 100%

Учащиеся знакомятся с текстом задач, выделяют основные компоненты в них и составляют таблицу следующего вида: Наименование веществ, растворов, смесей, сплавов % содержание вещества (доля содержания вещества) Масса раствора (смеси, сплава) Масса вещества

Наименование веществ, смесей % содержание (доля) вещества Масса раствора (кг) Масса вещества (кг) Исходный раствор 80 % = 0,820,8·2 Вода-3- Новый растворх % = 0,01 х 50,01 х·5 Рассмотрим решения задач с применением таблицы. Задача 1: В сосуд содержащий 2 кг 80 % -го водного раствора уксуса добавили 3 кг воды. Найдите концентрацию получившегося раствора уксусной кислоты. Решение: Масса уксусной кислоты не изменилась, тогда получаем уравнение: 0,01 х·5 = 0,8·2 0,05 х = 1,6 х = 1,6:0,05 х = 32 Ответ: концентрация получившегося раствора уксусной кислоты равна 32 %.

Очень часто в жизни приходится решать следующую задачу. Задача 2. Сколько нужно добавить воды в сосуд, содержащий 200 г 70 % - го раствора уксусной кислоты, чтобы получить 8 % раствор уксусной кислоты? Решение: Анализируя таблицу, составляем уравнение : 0,08(200 + х) = 0,7· ,08 х = 140 0,08 х = 124 х = 1550 Ответ : 1,55 кг воды. Наименование веществ, смесей % содержание (доля) вещества Масса раствора (г) Масса вещества (г) Исходный раствор 70 % = 0,72000,7·200 Вода-х- Новый раствор 8 % = 0, х 0,08(200 + х)

Задача 3. Смешали некоторое количество 12% раствора соляной кислоты с таким же количеством 20 % раствора этой же кислоты. Найти концентрацию получившейся соляной кислоты. Решение: Анализируя таблицу, составляем уравнение : 0,12 у + 0,2 у = 0,01 х·2 у Получили уравнение с двумя переменными, учитывая, что, имеем 0,32 = 0,02 х х = 16 Ответ :концентрация раствора 16 %. Наименование веществ, смесей % содержание (доля) вещества Масса раствора (кг) Масса вещества (кг) I раствор 12 % = 0,12 у 0,12 у II раствор 20 % = 0,2 у 0,2 у Смесьх % = 0,01 х 2 у 0,01 х·2 у

Задача 4. Смешали 8 кг 18 % раствора некоторого вещества с 12 кг 8 % раствора этого же вещества. Найдите концентрацию получившегося раствора. Решение: Уравнение для решения задачи имеет вид: 0,01 х·20 = 0,18·8 + 0,08·12 0,2 х = 2,4 х = 12 Ответ: концентрация раствора 12 %. Наименование веществ, смесей % содержание (доля) вещества Масса раствора (кг) Масса вещества (кг) I раствор 18 % = 0,1880,18·8 II раствор 8 % = 0,08120,08·12 Смесьх % = 0,01 х 200,01 х·20

Задача 5. Смешав 40 % и 15 % растворы кислоты, добавили 3 кг чистой воды и получили 20 % раствор кислоты. Если бы вместо 3 кг воды добавили 3 кг 80 % раствора той же кислоты, то получили бы 50 %-ый раствор кислоты. Сколько килограммов 40 % -го и 15 % растворов кислоты было смешано? Решение: Наименовани е веществ, смесей % содержание (доля) вещества Масса раствора (кг) Масса вещества (кг) I раствор 40 % = 0,4 х 0,4 х II раствор 15 % = 0,15 у 0,15 у Вода-3- Смесь I20 % = 0,2 х + у +30,2(х + у +3) Получаем уравнение:0,4 х + 0,15 у = 0,2(х + у +3) I раствор 40 % = 0,4 х 0,4 х II раствор 15 % = 0,15 у 0,15 у Кислота 80 % = 0,830,8·3 Смесь II50 % = 0,5 х + у +30,5(х + у +3) Получаем второе уравнение: 0,4 х 0,4 х + 0,15 у + 0,8·3 = 0,5(х + у +3). Для решения задачи получаем систему уравнений: Решаем систему уравнений: Ответ: 3,4 кг 40 % кислоты и 1,6 кг 15 % кислоты.

Задача 6. Имеется три сосуда. В первый сосуд налили 4 кг 70 % сахарного сиропа, а во второй – 6 кг 40 % сахарного сиропа. Если содержимое первого сосуда смешать с содержимым третьего сосуда, то получим в смеси 55 % содержание сахара, а если содержимое второго сосуда смешать с третьим, то получим 35 % содержание сахара. Найдите массу сахарного в третьем сосуде сиропа и концентрацию сахара в нем. Решение: Ответ: 1,5 кг сахарного сиропа 15 % концентрации. Наименование веществ, смесей % содержание (доля) вещества Масса раствора (кг) Масса вещества (кг) I сосуд 70 % = 0,740,7·4=2,8 II сосуд 40 % = 0,460,4·6 = 2,4 III сосуду % = 0,01 ух 0,01 ху I и III сосуды 55 % = 0,554+х 0,55(4+х) или 2,8+0,01 ху II и III сосуды 35 % = 0,356+х 0,35(6+х) или 2,4+0,01 ху Получаем систему уравнений : Решаем её:

Задача 7. Имеются два сплава, состоящие из золота и меди. В первом сплаве отношение масс золота и меди равно 8 :3, а во втором - 12 :5. Сколько килограммов золота и меди содержится в сплаве, приготовленном из 121 кг первого сплава и 255 кг второго сплава? Решение: Наимено вание веществ, смесей Доля вещества Масса сплава (кг) Масса вещества (кг) золото медь всего Золото М з медь М м I сплав ·121 или 121- М з II сплав · М з III сплав---376Сумма I и II сплавов *121 = 88 (кг) – масса золота в I сплаве * 255 = 180 (кг) масса золота в II сплаве =376 (кг) – масса III сплава =268 (кг) -масса золота в III сплаве =108 (кг) масса меди в III сплаве Ответ: 268 кг золота и 108 кг меди

Задача 8. Одна смесь содержит вещества А и В в отношении 4 :5, а другая смесь содержит те же вещества, но в отношении 6 :7. Сколько частей каждой смеси надо взять, чтобы получить третью смесь, содержащую те же вещества в отношении 5 :6. Решение: Ответ: 9 частей первой смеси и 13 частей второй смеси. Наименование веществ, смесей Доля вещества в смеси Масса смеси (кг) Масса вещества (кг) АВвсегоАВ I смесь 459 ххх II смесь 6713 ууу III смесь 56 х+ у По условию задачи А :В = 5 :6, тогда получилось одно уравнение с двумя переменными ; Решаем уравнение относительно. Получим =

Задача 9. Из полного бака, содержащего 256 кг кислоты, отлили п кг и долили бак водой. После тщательного перемешивания отлили п кг раствора и снова долили бак водой. После того как такая процедура была проделана 8 раз, раствор в баке стал содержать 1 кг кислоты. Найдите величину п. Решение: ; В этой задаче важно правильно определить и сохранить вид отдельных выражений – количество кислоты и долю кислоты в растворах, чтобы выявить закономерность. Кроме того это должно тренировать и закреплять соответствующие модели отдельных бытовых действий. Доля кислоты Масса раствора (кг) Масса кислоты (кг) Вначале 1256 После 1-го раза n После 2-го раза n- = После 3-го раза 256- ·n= После 8-го раза 256Аналогично,. По условию остался 1 кг.

Составляем уравнение для решения задачи : = n= 2 7 n = 128 Ответ: n = 128.

Заключение. Решение задач на растворы, смеси и сплавы являются хорошим накоплением опыта решения задач. В заключении очень полезно дать учащимся составить свои задачи. При этом получаются задачи и не имеющие решения, это позволяет им моделировать реальные ситуации и процессы в жизни. Такой вид работы делает мышление учащихся оперативным, воспитывает творческое отношение к тем задачам, которые ставит жизнь, учит учащихся прогнозированию. В задачах этого типа прослеживается системный подход к решению задач. Происходит успешная отработка и закрепление интеллектуальных умений (анализ, синтез, аналогия, обобщение. конкретизация и т.д.). Практика показывает, что учащиеся не знавшие вначале, как подойти к решению этих задач, в конце успешно решали и составляли сами задачи.