Элементарная теория конических сечений.

Предварительные замечания Общее уравнение второй степени относительно переменных х и у может содержать члены второй степени (х 2, ху и у 2 ), первой степени (х и у) и нулевой степени (свободный член). В соответствии с этим общее уравнение второй степени можно записать в виде: Ax 2 +Bxy+Cy 2 +Dx+Ey+F=0 Здесь по крайней мере один из коэффициентов А, В, С должен быть отличен от нуля.

Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения. Эллипс, гипербола и парабола могут быть получены сечением прямого кругового конуса плоскостями. Поэтому кривые эти называют коническими сечениями, где под прямым круговым конусом понимают коническую поверхность, которая получится, если каждую образующую обыкновенного прямого кругового конуса продолжить неограниченно в обе стороны. Рис. 6. ВЫРОЖДЕННЫЕ КОНИЧЕСКИЕ СЕЧЕНИЯ. Две пересекающиеся прямые образуют вырожденную гиперболу (а). Два вырожденных эллипса (б) возникают, когда конус пересекается с плоскостью, параллельной его основанию.

Рисунок показывает формы сечения конуса плоскостями, направленными под разными углами к его оси. Плоскость, перпендикулярная оси конуса, пересекает его поверхность по окружности. Если угол уменьшить, линия пересечения будет иметь вид эллипса. Плоскость, проходящая параллельно образующей конуса, пересекает его поверхность по параболе, а если угол ещё уменьшить, то по гиперболе.

Определение гиперболы… Гипербола (греч. hyperbole) - плоская кривая линия; -множество точек М плоскости, разность (по абсолютной величине) расстояний F 1 M и F 2 M которых до двух определенных точек F 1 и F 2 этой плоскости (фокусов гиперболы) постоянна: F 1 M - F 2 M=2 а

Фокус в математике, 1) Фокус кривой второго порядка ( эллипса, гиперболы, параболы ) - точка F, лежащая в плоскости этой кривой и обладающая тем свойством, что отношение расстояния любой точки кривой до F к расстоянию до директрисы есть величина постоянная, равная эксцентриситету. 2) Один из видов особых точек обыкновенных дифференциальных уравнений. Все интегральные кривые, проходящие через точки достаточно малой окрестности такой особой точки, представляют собой спирали с бесконечным числом витков, неограниченно приближающихся к особой точке, навиваясь на неё.

… параболы и… Парабола (греч. Parabole) - кривая второго порядка. Прямая пересекает её не более, чем в двух точках. При этом парабола может быть определена как: –Множество точек М (xv) плоскости, расстояние FM которых до определенной точки F этой плоскости (фокуса параболы) равно расстоянию MN до определенной прямой AN – директрисы параболы; –Линия пересечения прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через вершину конуса и параллельная какой-либо касательной плоскости этого конуса; –В прямоугольной системе координат Оху с началом в вершине параболы и осью Ох направленной по оси параболы уравнение параболы имеет так называемый канонический вид: y 2 =2px, Где р (фокальный параметр) – расстояние от фокуса до директрисы. рис слайд

Директрисы – это две прямые, перпендикулярные к фокальной оси и относящиеся на расстояние a/E от центра.

…и эллипса. Эллипс*(греч. elleipsis - недостаток) - линия пересечения прямого кругового конуса плоскостью, не проходящей через вершину конуса и пересекающей все прямолинейные образующие одной полости этого конуса. Эллипс - множество точек М плоскости (рис.1), сумма расстояний r 1 = МF 1 и r 2 = МF 2 которых до двух определенных точек F 1 (-c,0) и F 2 (c,0) этой плоскости (фокусов эллипса) постоянна r 1 +r 2 =2 а. Середина 0 отрезка F 1 F 2 (фокусного расстояния) называется центром эллипса. В прямоугольной системе координат 0 ху с началом в центре эллипса, на оси 0 х которой лежат фокусы эллипса уравнение эллипса имеет следующий вид х 2 /а 2 +у 2 /в 2 =1, в 2 =а 2 -с 2, где а и в - длинны большой и малой полуосей эллипса. При а=в фокусы F 1 и F 2 совпадают и указанное уравнение определяет окружность, которая рассматривается как частный случай эллипса. Эллипс - центральная линия второго порядка. рис слайд

Способы выполнения чертежей сечений. Точки окружности равноудалены от ее центра, и поэтому начертить её проще всего циркулем. Эллипс можно начертить с помощью двух булавок и колечка из нитки. Точки, где воткнуты булавки, называются фокусами эллипса. Отношение расстояния между фокусами к большой оси эллипса называется эксцентриситетом

Построение эллипса

Работа выполнена ученицей 11-А класса ОШ 6 г. Дружковки Кричковской Анной