Глава 2 МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 2.1. Общая характеристика методов решения систем линейных уравнений

2.2. Метод обратной матрицы. Формула Крамера Имеем линейную систему уравнений с n неизвестными:. … (2.1)

Введем матрицы: – матрица системы из коэффициентов при неизвестных, – вектор-столбец неизвестных, – вектор-столбец свободных членов.

Системе (2.1) соответствует матричное уравнение. (2.2) Решение уравнения (2.2) на базе обратной матрицы имеет вид. (2.3)

Другой разновидностью формы решения (2.3) является формула Крамера, (2.5), где Δ – главный определитель системы (2.1); – номера столбцов; – определитель, полученный путем замены в главном определителе системы (Δ) столбца коэффициентов при неизвестном x j столбцом коэффициентов свободных членов (B).

2.3. Метод Гаусса Для простоты рассуждений ограничимся рассмотрением системы четырех уравнений с четырьмя неизвестными 1)1) 2)2) 3)3) 4)4) (2.7),,,. Изложим последовательность операций при прямом ходе.

Первый шаг. Разделим коэффициенты первого уравнения на a 11, в результате чего оно примет вид. (2.8) Пользуясь уравнением (2.8), можно исключить Переменную x 1 из уравнений 2, 3, 4 системы (2.7). Для этого нужно из уравнения 2 системы вычесть уравнение (2.8), умноженное на a 21, из уравнения 3 системы вычесть уравнения (2.8), умноженное на a 31 и т.д. В результате получим систему из трех уравнений с тремя неизвестными: 1)1) 2)2) 3)3) (2.9),,.

Второй шаг состоит в исключении x 2 из уравнений 2, 3 системы (2.9). (2.11). Используя (2.11), исключаем x 2 из уравнений 2, 3 системы (2.9) и получаем систему второго порядка: 1)1) 2)2) (2.12),.

Третий шаг. Разделим первое уравнение системы (2.12) на ведущий элемент, что дает (2.13). С помощью этого уравнения исключим x 3 из второго уравнения системы (2.12) и получим (2.14).

Таким образом, исходную систему (2.7) удалось привести к эквивалентной системе с треугольной матрицей: (2.15).,,,

Обратный ход связан с последовательным переходом от последнего уравнения системы (2.15) к первому, в процессе которого осуществляется непосредственный расчет значений x: (2.16).,,,

(2.21). Определитель матрицы A равен произведению «ведущих» элементов в схеме Гаусса: (2.22).

2.4. Метод простой итерации для решения систем линейных уравнений Имеем линейную систему уравнений с n неизвестными:. … (2.23),,

Эквивалентная система уравнений:, … (2.24),, где ; прии (2.25)

Итерационный процесс для системы (2.24): (2.27) где k – номер итерации. Для сходящегося процесса решением является,. (2.28)

Условие сходимости: (2.39), т.е. модуль диагонального коэффициента для каждого уравнения больше суммы модулей его недиагональных коэффициентов. Условие завершения итерационного процесса:. (2.44)

2.5. Метод Зейделя для решения линейных систем Метод Зейделя представляет собой некоторую модификацию метода простой итерации. Считаем, что дана линейная система, приведенная к итерационному виду (2.24):. (2.62)

Полагаем, что найдено k-е приближение всех корней. Согласно методу Зейделя, (k+1)-е приближение корней будет определяться по следующим формулам:,,, …, …,. (2.63)

Метод Зейделя обеспечивает, как правило, лучшую сходимость, чем метод простой итерации.