Студент при подготовке к экзамену не успел выучить один из тех 25 билетов, которые будут предложены на экзамене. Какова вероятность того, что студенту достанется на экзамене выученный билет? Задача 1 Решение: N = 25 – количество билетов N(A) = 25-1 = 24 – количество выученных билетов P(A)= 24/25 = 0,96 – искомая вероятность. Ответ: 0,96.

11 класс

Что такое событие? Что такое событие? В теории вероятностей под событием понимают то, относительно чего после некоторого момента времени можно сказать одно и только одно из двух. Да, оно произошло. Нет, оно не произошло.

Типы событий Типы событий ДОСТОВЕРНОЕ СЛУЧАЙНОЕ НЕВОЗМОЖНОЕ Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в результате данного испытания. Событие называется достоверным, если оно обязательно произойдет в результате данного испытания. Случайным называют событие которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания. Случайным называют событие которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания. Событие называется невозможным, если оно не может произойти в результате данного испытания. Событие называется невозможным, если оно не может произойти в результате данного испытания.

Событие – это результат испытания Возможный исход эксперимента, называется элементарным событием, а множество таких исходов называется просто событием. Из урны наудачу берут один шар. Извлечение шара из урны есть испытание. Появление шара определенного цвета – событие. Единичное случайное событие происходит единожды, например, падение Тунгусского метеорита. Теория вероятностей изучает только массовые события.

Классическое определение вероятности случайного события. Несовместные события – это события, которые не могут произойти одновременно. Равновозможные события – это такие события, каждое из которых не имеет никаких преимуществ в появлении чаще, чем другое, во время многоразовых испытаний, которые проводятся при одинаковых условиях. Вероятностью события Р(А) – называется отношение числа благоприятных исходов N(A) к числу всех возможных исходов N :

Алгоритм нахождения вероятности случайного события. 1)Определить число N всех возможных исходов данного испытания. 2) Найти количество N(A) тех исходов, в которых наступает событие А. 3)Вычислить частное, которое будет равно вероятности события А. Вероятность события:

Ошибка Даламбера Ошибка Даламбера Какова вероятность, что подброшенные вверх две правильные монеты упадут на одну и ту же сторону? Решение, предложенное Даламбером: Опыт имеет три равновозможных исхода: 1)Обе монеты упали на «орла». 2)Обе монеты упали на «решку». 3)Одна из монет упала на «орла», другая на «решку». N = 3; N(A) = 2; P(A) = 2/3.

Правильное решение Правильное решение Нельзя объединять два принципиально разных исхода в один. Природа различает все предметы!!! Орел, орел Решка, решка Орел, решка Решка, орел N = 4; N(A) = 2; P(A) = 1/2.

Правила вычисления вероятностей Правила вычисления вероятностей. 1) Вероятность элементарного события (события, которое соответствует единственному исходу из N равновозможных) равна 1/N. 2)Вероятность невозможного события равна 0. 3)Вероятность достоверного события равна 1. 4) Вероятность любого события заключена в пределах от 0 до 1: 0 Р(А) 1. 5) Вероятность события, противоположного событию А (события, заключающегося в том, что событие А не наступает), равна 1- Р(А).

Правила вычисления вероятности произведения событий Правила вычисления вероятности произведения событий. Произведением событий А и В называют событие А*В, состоящее в наступлении обоих этих событий Если события А и В независимы (они происходят в разных испытаниях, и исход одного испытания не может влиять на исход другого), то вероятность того, что наступят оба этих события, равна Р(А)*Р(В): Р(А*В)=Р(А)*Р(В) Например, вероятность выпадения двух шестерок при двукратном бросании кубика равна: 1/6*1/6=1/36.

Правила вычисления вероятности суммы событий Правила вычисления вероятности суммы событий. Суммой событий А и В называют событие А+В, состоящее в наступлении хотя бы одного из этих событий. Если А и В несовместны, то Р(А+В)=Р(А)+Р(В) Для произвольных событий А и В вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей без вероятности их совместного события:

Решение задач Решение задач. Задача 2 Фабрика выпускает сумки. В среднем на 80 качественных сумок приходится 8 сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Решение: N(A) = 80 N= 80+8=88 P(A) = 80/88 = 0,91 Ответ: 0,91.

. Задача 3 Фабрика выпускает сумки. В среднем из 180 сумок восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых. Решение: N(A) = = 172 сумки качественные, N = 180 всего сумок P(A) = 172/180 = 0, ,96 Ответ: 0,96.

. Задача 4 Перед началом первого тура чемпионата по бадминтону участников разбивают на игровые пары случайным образом с помощью жребия. Всего в чемпионате участвует 26 бадминтонистов, среди которых 10 участников из России, в том числе Руслан Орлов. Найдите вероятность того, что в первом туре Руслан Орлов будет играть с каким-либо бадминтонистом из России? Решение: Так как Руслан Орлов сам с собой играть не может, то вероятность его игры с каким-нибудь спортсменом из России будет (N(A)=9, N=25): P(A) = 9/25 = 0,36.

. Задача 5 В таблице приведены результаты диагностической работы по математике в 9-х классах. Какова вероятность того, что оценка выбранной наугад работы будет выше, чем среднее по школе значение оценки? Оценки«2»«3»«4»«5» Число учащихся Решение: = 50 – всего учащихся (2*7+3*20+4*15+5*8):50 = 3,48 3 – среднее по школе значение оценки. 15+8=23 – количество девятиклассников, получивших оценку выше средней по школе. Р = 23/50 = 0,46. Ответ: 0,46.

. Задача 6 Ваня забыл последние 2 цифры пароля для входа на сайт, но помнит, что они различны и образуют двузначное число, меньшее 30. С учетом этого он набирает наугад 2 цифры. Найти вероятность того, что это будут нужные цифры. Решение: Подсчитаем количество всех возможных двузначных чисел с разными цифрами, меньшее 30, которые может набрать абонент: Таких чисел 18. Так как только одно число правильное, то искомая вероятность Р=1/18. Ответ: 1/18.

. Задача 7 Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 35 % этих стекол, вторая – 65%. Первая фабрика выпускает 4% бракованных стекол, а вторая – 2%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным. Решение: Количество выпускаемой продукции Вероятность купить бракованное стекло Первая фабрика 0,350,04 Вторая фабрика 0,650,02

. Задача 7 Вероятность того, что бракованное стекло куплено на первой фабрике равна 0,350,04 = 0,0140. Вероятность того, что бракованное текло куплено на второй фабрике равна 0,650,02 = 0,0130. Так как это независимые события, то полученные вероятности складываем: 0, ,0130 = 0,027 Ответ: 0,027

. «Вероятность – мера случайности» «Теория вероятностей – не что иное, как здоровый смысл, подкрепленный вычислениями». (Маркиз де Лаплас) «Истинная логика нашего мира – правильный подсчет вероятностей». (Джеймс Максвелл)

Проверь себя ! Проверь себя ! Событие Достоверное+++ Возможное+++++ Невозможное++

Проверь себя ! Проверь себя ! СОБЫТИЯ СЛУЧАЙНЫЕ ДОСТОВЕРНЫЕ 0

. Блез Паскаль Французский физик, математик, философ (1623 – 1662)

Блиц-опрос Блиц-опрос Основное понятие теории вероятностей –это… Как называется событие в наступление которого не сомневаются Какова вероятность невозможного события? Какова вероятность достоверного события? В каких пределах находится вероятность? Как называются два события, имеющие одинаковую вероятность? Вероятность случайного события равна … События А и В называются несовместными, если … Вероятность события, противоположного событию А равна… Суммой событий А и В называют событие … Произведением событий А и В называют событие …

Домашнее задание Выполнить 10 заданий В6 из демонстрационных вариантов ЕГЭ в режиме онлайн - тренировки по адресу:

Подведем итоги

Спасибо за внимание!