Задания, связанные с касательной к графику функции Галкин Сергей Михайлович, учитель математики МБОУ «Гимназия 41», г. Новоуральск, Свердловская обл. smgal.ru © Галкин С.М. 2011

. Задача На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции y = f(x) в точке x 0. x0x x y Находим какой-нибудь отрезок касательной с концами в вершинах клеток, например АВ. Рассматриваем прямоугольный треугольник АВС с гипотенузой АВ А В С Угол, который образует касательная с положительным направлением оси Ох равен углу АВС Тангенс угла АВС равен ………………………………….. ……………………………………………………………………… Угловой коэффициент касательной равен …………………………………………………………………….. значению производной в точке касания угловому коэффициенту касательной

. x0x y Можно рассматривать другие прямоугольные треугольники x Задача На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции y = f(x) в точке x 0.

. x0x y Можно рассматривать другие прямоугольные треугольники x Задача На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции y = f(x) в точке x 0.

. x0x y Можно рассматривать другие прямоугольные треугольники Главное, чтобы концы отрезка касательной были в вершинах клеток концы отрезка касательной были в вершинах клеток x Задача На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции y = f(x) в точке x 0.

. Задача На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции y = f(x) в точке x 0. x0x y x x0x y x

. Задача На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции y = f(x) в точке x 0. x0x0 0 y x 1 1 Угол между касательной и положительным направлением оси Ох тупой, поэтому знак производной будет …………………… отрицательным α φ α Находим тангенс угла φ смежного с углом α. В С Из треугольника АВС А

. x0x0 0 y 1 1 Другие треугольники, из которых можно найти тангенс угла, смежного с углом между касательной и положительным направлением оси Ох х x0x х Задача На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции y = f(x) в точке x 0.

. x0x0 0 y 1 1 Другие треугольники, из которых можно найти тангенс угла, смежного с углом между касательной и положительным направлением оси Ох х x0x х Задача На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции y = f(x) в точке x 0.

. Задача На рисунке изображен график функции y = f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x 0. Найдите значение производной функции y = f(x) в точке x 0. x0x0 0 y x 1 1 Угол между касательной и положительным направлением оси Ох тупой, поэтому знак производной будет …………………… отрицательным α В С В треугольнике АВС угол φ равен углу, смежному с углом α (почему?) А φ

. Если две прямые параллельны, то их ……………………………………… равны угловые коэффициенты Угловой коэффициент прямой y = 2x -3 равен …. 2 По геометрическому смыслу производной угловой коэффициент касательной равен …………………… в точке касания Значит, угловой коэффициент касательной k = …. 2 значению производной Следовательно, f´(x 0 ) = … 2 и нужно по графику y = f´(x) найти значение аргумента x, если известно, что y = …. 2 Для этого проводим прямую ……. 2 x = 5 y = 2 и находим абсциссу точки пересечения 5 Задача На рисунке изображен график производной функции y = f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y = f(x) параллельна прямой y = 2x – 3 или совпадает с ней

. 2 x = 5 5 Краткое решение: Так как касательная параллельна прямой y = 2x – 3, то ее угловой коэффициент k = …. По геометрическому смыслу производной f´(x 0 ) = …., где x 0 - ……………. точки касания Значит, f´(x 0 ) = ….. По графику y = f´(x) при y = 2 находим x 2 k абсцисса 2 Задача На рисунке изображен график производной функции y = f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y = f(x) параллельна прямой y = 2x – 3 или совпадает с ней

. 2 x = 5 5 Очень краткое решение: Так как касательная параллельна прямой y = 2x – 3, то f´(x 0 ) = k = 2 По графику y = f´(x) при y = 2 находим x Задача На рисунке изображен график производной функции y = f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y = f(x) параллельна прямой y = 2x – 3 или совпадает с ней

. Задача На рисунке изображен график производной функции y = f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции y = f(x) параллельна оси абсцисс или совпадает с ней. -3 x = - 3 Краткое решение: Так как касательная параллельна оси абсцисс, то ее угловой коэффициент k = …. По геометрическому смыслу производной f´(x 0 ) = …., где x 0 - ……………. точки касания Значит, f´(x 0 ) = ….. По графику y = f´(x) при y = 0 находим x 0 k абсцисса 0

. Задача На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (-10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = -2x +1 или совпадает с ней. Очень краткое решение: Так как касательная параллельна прямой y = -2x +1, то f´(x 0 ) = k =…. По графику y = f´(x) при y = …. находим x -2 Прямая y = -2 пересекает график y = f´(x) в ….. точках -2 5