Введение Даже незнакомый с математикой человек, взяв в руки книгу по математике, может, как правило, сразу определить, что эта книга действительно по математике, а не по какому-то другому предмету. И дело не только в том, что там обязательно будет много формул: формулы есть и в книгах по физике, астрономии или мостостроению. Дело в том, что в любой серьезной книге по математике присутствуют доказательства. Именно доказуемость математических утверждений, наличие в математических текстах доказательств – вот что нагляднее всего отличает математику от других областей знания. Математические доказательства повсеместно признаются эталоном бесспорности. Выражения вроде «я докажу тебе математически», встречающиеся в русской классической литературе, призваны продемонстрировать доказательство, которое нельзя оспорить.

Всем известно высказывание Платона: «Разве ты не заметил, что способный к математике изощрен во всех науках в природе?» Оно наталкивает нас на мысль, что математическое доказательство способствует развитию логического, абстрактного и эвристического мышления, формирует интеллект и ораторское искусство, а значит, формировать навыки доказательства нужно как можно раньше. Платон (428 или 427 до нашей эры 348 или 347) древнегреческий философ, ученик Сократа.

Глава I. Способы математического доказательства 1.1. Дедуктивные способы доказательства Дедукция (лат. deductio - выведение) - в широком смысле слова - такая форма мышления, когда частное положение выводится логическим путем из общих. Началом (посылками) дедукции являются аксиомы или гипотезы, имеющие характер общих утверждений («общее»), а концом следствия из посылок, теоремы («частное»). Если посылки дедукции истинны, то истинны и её следствия. Дедукция основное средство доказательства. Дедуктивные умозаключения с психолого-педагогической точки зрения играют огромную роль и являются источником и условием развития логического, абстрактного, дедуктивного и эвристического мышления. Велико их значение в формировании и развитии нравственных качеств личности. Рассмотрим основные способы математического доказательства.

Доказательство дедуктивным способом предполагает применение логических схем: 1)А(х)=>В(х), А(а) правило заключения В(а) 2)А(х)=>В(х),¬ В(а) правило отрицания ¬А(а) 3)А(х)=>В(х), В(х)=>С(х) правило силлогизма А(х)=>С(х)

1.2. Индуктивные способы доказательства Индукция (лат. inductio наведение) процесс логического вывода на основе перехода от частного положения к общему. Индуктивное умозаключение связывает частные предпосылки с заключением не строго через законы логики, а скорее через некоторые фактические, психологические или математические представления. Объективным основанием индуктивного умозаключения является всеобщая связь явлений в природе. Различают полную индукцию метод доказательства, при котором утверждение доказывается для конечного числа частных случаев, исчерпывающих все возможности, и неполную индукцию наблюдения за отдельными частными случаями наводят на гипотезу, которая, конечно, нуждается в доказательстве. Также для доказательств используется метод математической индукции.

Математическая индукция один из методов математического доказательства, который используется, чтобы доказать истинность некоторого утверждения для всех натуральных чисел. Для этого сначала проверяется истинность утверждения с номером 1 база индукции, а затем доказывается, что, если верно утверждение с номером n, то верно и следующее утверждение с номером n + 1 шаг индукции, или индукционный переход. Доказательство по индукции наглядно может быть представлено в виде так называемого принципа домино. Пусть какое угодно число косточек домино выставлено в ряд таким образом, что каждая косточка, падая, обязательно опрокидывает следующую за ней косточку (в этом заключается индукционный переход). Тогда, если мы толкнём первую косточку (это база индукции), то все косточки в ряду упадут.

1.3. Способ доказательства по аналогии Аналогия – это умозаключение о принадлежности предмету определенного признака на основе сходства в признаках с другим предметом. Лишь умозаключения по аналогии дают возможность людям делать открытия новых свойств неизученных объектов на основании их аналогии с ранее изученными, т.е. происходит переход от изученного множества объектов к новому, исследуемому. Так, обратив внимание на аналогию между принципом действия нервной системы и цифровых вычислительных устройств, Норберт Винер начал свои исследования в области конструирования логических машин.

Аналогия - это обще учебное умение переносить знания с одного предмета на другой в аналогичных заданиях. Знания математики по аналогии переносятся на все другие науки. Поэтому математику называют и царицей, и служанкой всех наук. В процессе обучения математике учителю следует не только самому пользоваться полезными аналогиями, но и приобщать учащихся к самостоятельному проведению умозаключений по аналогии. При этом учащиеся должны понимать, что выводы, полученные по аналогии, требуют обязательного обоснования, так как не исключено то, что они могут оказаться ошибочными. Процесс умозаключений по аналогии можно осуществить поэтапно: I этап – операция сравнения объектов с целью установления сходства и (или) различия; II этап – перенос свойств с оригинала (прототипа) на модель (образ).

Пусть в n коробок помещены k предметов. Если количество предметов больше количества коробок (k > n), тогда существует хотя бы одна коробка, в которой бы находилось 2 предмета. Примечание. Отметим, что не важно, в какой именно коробке находятся по крайней мере два предмета. Также не имеет значения, сколько предметов в этой коробке, и сколько всего таких коробок. Важно то, что существует хотя бы одна коробка с не менее чем двумя предметами (два или более). В литературе этот принцип также встречается под названиями: "принцип кроликов и клеток", "принцип ящиков и объектов" Принцип Дирихле

1.5. Метод от противного Этот метод доказательства основан на логическом приеме апагогии, когда несостоятельность какого-нибудь мнения доказывается таким образом, что или в нём самом, или же в следствиях, из него вытекающих, мы открываем противоречие. Метод от противного предполагает несколько этапов доказательства: 1. Предполагаем противоположное тому, что нужно доказать. 2. В ходе рассуждения приходим к противоречию с ранее изученной аксиомой, теоремой или условием задачи. 3. Отрицаем предположение как неверное 4. По закону исключенного третьего делаем вывод. Суть его легко объяснить на простейших бытовых примерах: третье не существует, т. е., кроме мнения, справедливость которого нужно доказать, и второго, ему противоположного, которое служит исходным пунктом доказательства, никакой третий факт не допускается.

1.6. Разделительный метод Разделительное доказательство, так же как и метод от противного, является косвенным, то есть, основано на установлении несостоятельности антитезиса. Можно не ограничивать число принимаемых во внимание возможностей только двумя, это приведет к доказательству через исключение. Оно применяется в тех случаях, когда известно, что доказываемый тезис входит в число альтернатив, полностью исчерпывающих все возможные альтернативы данной области. Например, нужно доказать, что одна величина равна другой. Ясно, что возможны только три варианта: или две величины равны, или первая больше второй, или, наконец, вторая больше первой. Если удалось показать, что ни одна из величин не превосходит другую, два варианта будут отброшены и останется только третий: величины равны. Доказательство идет по простой схеме: одна за другой исключаются все возможности, кроме одной, которая и является доказываемым тезисом.