СИНТЕЗ ЛИНЕЙНЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ Автор Останин Б.П. Синтез линейных цепей. Слайд 1. Всего 23. Конец слайда

Синтез электрической цепи заключается в построении цепи, обладающей заданной реакцией y(t) на некоторое воздействие x(t). Реакция линейной цепи на произвольное внешнее воздействие однозначно определяется её временными или частотными характеристиками, следовательно, задача синтеза сводится к нахождению цепи, обладающей заданными характеристиками. Синтез цепи по её частотным характеристикам называется синтезом в частотной области, а синтез цепи по её временным характеристикам называется синтезом во временной области. Задача анализа электрической цепи всегда имеет единственное решение. Решение задачи синтеза, если она имеет решение, как правило, не является единственным. Набор допустимых типов элементов называется элементным базисом цепи. Одна и та же частотная или временная характеристика цепи может оказаться физически нереализуемой в одном элементном базисе и физически реализуемой в другом. Реализуемая цепь может быть представлена в виде двухполюсника, проходного четырёхполюсника или многополюсника. Физически реализуемые характеристики цепи должны удовлетворять условиям, называемым критериями физической реализуемости. Понятие о физической реализуемости цепей Автор Останин Б.П. Синтез линейных цепей. Слайд 2. Всего 23. Конец слайда

Любые операторные характеристики линейных электрических цепей, не содержащих независимых источников энергии. В том числе и операторные входные характеристики, линейных пассивных цепей могут быть представлены в виде отношения двух полиномов с вещественными коэффициентами. Автор Останин Б.П. Синтез линейных цепей. Слайд 3. Всего 23. Конец слайда

Необходимое и достаточное условие физической реализуемости рациональной функции H(p) в качестве операторной входной функции линейной пассивной цепи заключается в том, чтобы H(p) являлась положительной вещественной функцией комплексной частоты p. Автор Останин Б.П. Синтез линейных цепей. Слайд 4. Всего 23. Конец слайда

Положительной вещественной функцией комплексного переменного р называется функция H(p), действительная часть которой неотрицательна при неотрицательных значениях действительной части р: при а мнимая часть равна нулю при мнимой части р равной нулю: при Автор Останин Б.П. Синтез линейных цепей. Слайд 5. Всего 23. Конец слайда

Непосредственно по приведённым выражениям трудно определить, является ли заданная рациональная функция H(p) положительной вещественной функцией комплексной частоты р, поэтому обычно проверяют выполнение следующих условий, которые полностью вытекают из этих выражений: Автор Останин Б.П. Синтез линейных цепей. Слайд 6. Всего 23. Конец слайда

1. Все коэффициенты a i и b i полиномов N(p) и M(p) должны быть вещественны и неотрицательны; 2. Наибольшие и, соответственно, наименьшие степени полиномов N(p) и M(p) не могут отличаться более чем на единицу [любой пассивный двухполюсник при р 0 и при р ведёт себя либо как ёмкость Z C (p) = kp -1, либо как индуктивность Z C (p) = kp, либо как сопротивление kp 0 ]. 3. Нули p 0i и полюсы p ki функции H(p) не могут располагаться в правой полуплоскости: Re(p 0i ) 0, Re(p ki ) 0 (в противном случае в цепи не выполняются условия затухания свободных процессов); Автор Останин Б.П. Синтез линейных цепей. Слайд 7. Всего 23. Конец слайда

4. Нули и полюсы функции H(p), расположенные на мнимой оси, должны быть только простыми (некратными), причём производные в нулях и вычеты в полюсах должны быть вещественны и положительны. Если среди нулей и полюсов функции H(p) имелся бы хоть один корень p k = j k с кратностью, то этому корню соответствовала бы нарастающая во времени свободная составляющая решения Автор Останин Б.П. Синтез линейных цепей. Слайд 8. Всего 23. Конец слайда

5. Вещественная часть функции H(p) должна быть неотрицательна на мнимой оси: Re[H(p)] 0 при Re(p) = 0 [при гармоническом воздействии (р = j ) вещественная часть комплексных входного сопротивления или входной проводимости линейной пассивной цепи не может быть отрицательной]. Автор Останин Б.П. Синтез линейных цепей. Слайд 9. Всего 23. Конец слайда

Примеры Автор Останин Б.П. Синтез линейных цепей. Слайд 10. Всего 23. Конец слайда

Все коэффициенты полиномов N(p) и M(p) вещественны и положительны (условие 1), наименьшие и наибольшие степени этих полиномов отличаются на единицу. Все нули р 01 = j2, р 02 = -j2 и полюсы р k1 = 0, р k2 = j3, р k3 = -j3 расположены на мнимой оси и являются простыми. Производные функции в нулях Автор Останин Б.П. Синтез линейных цепей. Слайд 11. Всего 23. Конец слайда

а вычеты функции в полюсах вещественны и положительны:, Вещественная часть H 4 (p) на мнимой оси Автор Останин Б.П. Синтез линейных цепей. Слайд 12. Всего 23. Конец слайда

Таким образом, функция H 4 (p) физически реализуема в качестве операторной входной характеристики линейной пассивной цепи. Анализируя критерии физической реализуемости и рассматривая приведённые примеры, приходим к выводу, что если некоторая рациональная функция H(p) относится к положительным вещественным функциям и, следовательно, является физически реализуемой в качестве операторной входной характеристики линейной пассивной цепи, то обратная ей функция H -1 (p) также физически реализуема, причём нули функции H(p) соответствуют полюсам функции H -1 (p), и наоборот. Автор Останин Б.П. Синтез линейных цепей. Слайд 13. Всего 23. Конец слайда

После проверки физической реализуемости цепи определяют эквивалентную схему цепи и параметры её элементов. Переход от идеализированной (эквивалентной) цепи к реальной составляет задачу технической реализации. Процесс синтеза, как правило, совмещают с процессом оптимизации цепи по какому-либо критерию. Такими критериями могут быть минимальное число элементов реализуемой цепи; минимальное число элементов какого- либо типа, например индуктивностей; минимальное значение параметров каких-либо элементов и др. Основные этапы синтеза Автор Останин Б.П. Синтез линейных цепей. Слайд 14. Всего 23. Конец слайда

Реализация реактивных двухполюсников Метод выделения простейших составляющих (метод Фостера) Метод Фостера основан на представлении заданной физически реализуемой функции Н(р) в виде суммы простейших функций: каждую из которых можно рассматривать как операторную входную характеристику некоторого элементарного одно или двухэлементного двухполюсника. Если функция Н(р) представляет собой операторное входное сопротивление, то искомая цепь может быть реализована в виде последовательного соединения элементарных двухполюсников, соответствующих каждой из простейших функций H i (p). Если функция Н(р) представляет собой операторное входную проводимость, то искомая цепь может быть реализована в виде параллельного соединения элементарных двухполюсников, соответствующих каждой из простейших функций H i (p). Автор Останин Б.П. Синтез линейных цепей. Слайд 15. Всего 23. Конец слайда

Метод Фостера применим для реализации положительных вещественных функций, нули и полюсы которых расположены только на мнимой оси и отрицательной вещественной полуоси. Этому ограничению удовлетворяют операторные входные функции реактивных, без индуктивных и безъёмкостных двухполюсников, а также операторные входные функции некоторых RLC- цепей. Синтез реактивных двухполюсников Пусть реактансная функция должна быть реализована в качестве операторного входного сопротивления линейной пассивной цепи. Разложим функцию Z(p) на простейшие дроби Автор Останин Б.П. Синтез линейных цепей. Слайд 16. Всего 23. Конец слайда

N – число пар комплексно-сопряжённых полюсов функции Z(p),, 0, i – постоянные действительные положительные коэффициенты, причём является целой частью функции Z(p): 0 определяется как вычет функции Z(p) в полюсе р = 0 : i - как вычеты функции Z(p) в полюсах Автор Останин Б.П. Синтез линейных цепей. Слайд 17. Всего 23. Конец слайда

Очевидно, что первый член разложения можно рассматривать как операторное входное сопротивление индуктивности второй член – как операторное входное сопротивление ёмкости а каждое из слагаемых вида - как операторное входное сопротивление параллельной LC-цепи, составленной из элементов и Автор Останин Б.П. Синтез линейных цепей. Слайд 18. Всего 23. Конец слайда

Полученному разложению можно поставить в соответствие двухполюсник, представляющий собой последовательное соединение индуктивности L ёмкости С 0 и N параллельных LC цепей. Схема, реализующая такое разложение, называется первой канонической схемой Фостера. Анализируя различные виды реактансных функций можно прийти к выводу, что первый член разложения не равен нулю, если функция Z(p) имеет полюс на бесконечности. У таких функций степень полинома, стоящего в числителе, на единицу выше степени полинома стоящего в знаменателе. Второй член разложения не равен нулю, если Z(p) имеет полюс при р = 0. У таких функций множитель р в знаменателе может быть вынесен за скобки. Автор Останин Б.П. Синтез линейных цепей. Слайд 19. Всего 23. Конец слайда

Следовательно, реактивный двухполюсник, реализующий заданную функцию Z(p) по первой канонической схеме Фостера, будет содержать индуктивность L только в том случае, если степень полинома N(p) превышает степень полинома M(p) на единицу, и ёмкость С 0 только тогда, когда в многочлене M(p) множитель р может быть вынесен за скобки. L C0C0 L1L1 LiLi LNLN C1C1 CiCi CNCN Автор Останин Б.П. Синтез линейных цепей. Слайд 20. Всего 23. Конец слайда

Пример Построить методом Фостера двухполюсник, операторное сопротивление которого Данная функция является реактансной. Непосредственно по виду функции устанавливаем, что искомый двухполюсник представляет собой последовательное соединение ёмкости С 0 (в знаменателе функции р выносится за скобки) и параллельной цепи LC (функция Z(p) имеет одну пару комплексно-сопряжённых полюсов). Разлагаем функцию Z(p) на простые дроби Автор Останин Б.П. Синтез линейных цепей. Слайд 21. Всего 23. Конец слайда

Автор Останин Б.П. Синтез линейных цепей. Слайд 22. Всего 23. Конец слайда

Определяем C0C0 L1L1 C1C1 Ф Ф Гн Автор Останин Б.П. Синтез линейных цепей. Слайд 23. Всего 23. Конец слайда