Предел функции Лекция 1

Ведение в Математический анализ – часть математики, в которой функции и их обобщения изучаются с помощью пределов. § Понятие функции Основные понятия Пусть X,Y – множества произвольной природы. ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если x X поставлен в соответствие единственный элемент y Y, то говорят, что на множестве X задана функция (отображение) с множеством значений Y. Записывают: f: X Y, y = f(x) (где f – закон, осуществляющий соответствие) Называют: X – область (множество) определения функции x (x X) – аргумент (независимая переменная) Y – область (множество) значений y (y Y) – зависимая переменная (функция)

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ФУНКЦИИ 1) словесный; 2) табличный; 3) графический; ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Графиком функции y = f(x) называется геометрическое место точек плоскости с координатами (x; f(x)). График функции y = f(x) будем также называть «кривой y = f(x)». 4) аналитический: а) явное задание (т.е. формулой y = f(x) ) б) неявное задание (т.е. с помощью уравнения F(x,y)=0 ).

Классификация вещественных функций вещественного аргумента

ОСНОВНЫЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ: 1) степенные: y = x r (r ) 2) показательные: y = a x (a > 0, a 1) 3) логарифмические: y = log a x (a > 0, a 1) 4) тригонометрические: y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = ctgx 5) обратные тригонометрические: y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arcctgx ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Элементарной функцией называется функция, которая может быть задана одной формулой y = f(x), где f(x) – выражение, составленное из основных элементарных функций и действительных чисел с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.

Многочленом степени n (полиномом, целой рациональной) называется функция вида Рациональной (дробной рациональной) функцией называют отношение двух многочленов Иррациональными функциями называют функции, полученные конечным числом арифметических операций над аргументом х и конечным числом композиций степенных функций с рациональным показателем.

Алгебраическими функциями называют рациональные (целые рациональные и дробные рациональные) и иррациональные функции. Трансцендентными называют остальные элементарные функции.

Основные характеристики поведения функции 1) Четность функции (чётная, нечётная, общего вида); 2) Периодичность функции; 3) Монотонность функции (возрастающая, убывающая, неубывающая, невозрастающая); 4) Ограниченность функции (ограниченная сверху, ограниченная снизу, ограниченная).

Предел функции

Геометрическая интерпретация понятия предела функции x y f(x) A x0x0 2δ2δ 2ε2ε x0+h2x0+h2 x0-h1x0-h1 A-ε A+ε

О п р е д е л е н и е 2. Число А называется пределом функции при если для всякого положительного сколь угодно малого найдется такое положительное число что для всех значений х, удовлетворяющих условию, будет выполняться неравенство

Свойства пределов 1)Если функция имеет предел при x x 0, то этот предел единственный. 2)Если функция f(x) имеет предел при x x 0, то она ограничена в некоторой проколотой окрестности точки x 0 (говорят: функция локально ограничена).

3) Пусть f(x) и g(x) имеют предел при x x 0. Тогда их сумма, разность, произведение и частное тоже имеют предел при x x 0, причем Следствие свойства 3. Если f(x) имеет предел при x x 0, то c функция с f(x) тоже имеет предел при x x 0, причем Говорят: «константу можно вынести за знак предела». Замечание. Свойство 3 и его следствие обычно называют теоремами о пределах.

Для всех основных элементарных функций в любой точке их области определения имеет место Например,

Примеры на применение правил предельного перехода

Бесконечно малые и бесконечно большие величины. О п р е д е л е н и е 1. Функция называется бесконечно малой величиной (Б.М.В.) при, если ее предел равен нулю

Геометрически это означает, что функция либо пересекает ось ОХ, либо касается ее в точке

О п р е д е л е н и е 2. Функция называется бесконечно малой величиной при, если для каждого положительного сколь угодно малого числа найдется положительное число, такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству, будет выполняться неравенство.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция (x) называется бесконечно малой при x x 0, если 1. ЛЕММА (о роли бесконечно малых функций). Число A является пределом функции f(x) при x x 0 f(x) = A + (x), где (x) – бесконечно малая при x x Пусть f(x) – ограничена в некоторой проколотой окрестности точки x 0, (x) – бесконечно малая при x x 0. Тогда f(x) (x) – бесконечно малая при x x 0.

О п р е д е л е н и е 3. Функция называется бесконечно малой величиной при, если для каждого положительного сколь угодно малого числа найдется сколь угодно большое положительное число такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству будет выполняться неравенство

Геометрически: для всех значений х, которые значения функции попадают в -окрестность нулевой точки :

О п р е д е л е н и е 4. Функция называется бесконечно большой величиной при, если для каждого положительного сколь угодно большого числа N найдется соответствующее сколь угодно малое положительное число такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству будет выполняться неравенство :

Геометрически: для всех значений х, попадающих в -окрестность точки а, соответствующие значения функции будут по абсолютной величине больше сколь угодно большого числа N

О п р е д е л е н и е 5. Функция называется бесконечно большой величиной при, если для каждого положительного сколь угодно большого числа N найдется соответствующее сколь угодно большое число такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству, будет выполняться неравенство :

Геометрически: Функция будет бесконечно большой величиной при, если функция может принимать значения по абсолютной величине больше наперед заданного числа N

Выводы Функция является бесконечно большой величиной, если. Данная запись является символической. Понятия бесконечно большая величина и бесконечно малая величина относятся только к характеру поведения функции, а не к ее величине вообще.

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших величин. Пусть и бесконечно малые величины при 1. Сумма (разность) бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая:

2. Произведение бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая: 3. Произведение бесконечно малой величины на константу С или на функцию, имеющую конечный предел, есть величина бесконечно малая:

Пусть и бесконечно большие величины при и. 1. Сумма бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая: 2. Произведение бесконечно больших величин есть величина бесконечно большая:

3. Произведение бесконечно большой величины на константу С, или на функцию, имеющую конечный предел, есть величина бесконечно большая:

Связь бесконечно больших и бесконечно малых величин. Величина, обратная бесконечно малой величине, есть величина бесконечно большая, и наоборот, величина, обратная бесконечно большой величине, есть величина бесконечно малая.

Примеры ;

П р и м е ч а н и е. При вычислении пределов возможны следующие комбинации бесконечно малых и бесконечно больших величин, которые называются неопределенностями: Раскрыть неопределенность - это значит ответить на вопрос: чему равен данный предел?

Вычисление пределов, когда предел числителя и предел знаменателя равны нулю. неопределенность вида П р а в и л о 1. Пусть требуется вычислить предел дробно-рациональной функции. В этом случае надо числитель и знаменатель дроби разделить на ( ) и перейти к пределу.

Пример 1. Пример Решение. Разделим числитель и знаменатель на. ; ; ; 0 2

Пример 3. Решение. Разделим числитель и знаменатель на 0 0

П р а в и л о 2. Чтобы найти предел дроби, содержащий иррациональные выражения в случае, когда пределы числителя и знаменателя равны нулю, надо перенести иррациональность из числителя в знаменатель, или наоборот. После этого следует сделать преобразования и перейти к пределу, используя известные формулы:

Пример 4. Решение. Домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное иррациональное выражение с учетом

Пример 5. Решение. Домножим числитель и знаменатель дроби на неполный квадрат суммы

Пример 6. Решение. Перенесем иррациональность числителя в знаменатель, а иррациональность знаменателя в числитель: (а - b) ( а 2 + a b + b 2 ) = a 3 - b 3 ; (а - b) ( а + b) = a 2 - b 2

Неопределенности Различают следующие виды неопределённостей:

Определение предела функции символы определение картинка пример x y f(x) A x0x0 2δ2δ 2ε2ε x y x0x0 2ε2ε 2δ2δ |2x+5-7|=2|x-1|