Дополнительные главы математической физики-4 Линейные уравнения математической физики-3 Николай Николаевич Розанов НИУ ИТМО, 2012

Предполагается известным: Ряды Фурье для функции f(x) на интервале Интеграл Фурье для функции f(x) на бесконечном интервале, Как связаны коэффициенты Полная ортонормированная система функций (поясняется далее) Скалярное произведение функций

Ортонормированные системы функций-1 Рассматриваем функции от, для которых в области G Скалярное произведение двух функций Норма Свойства Доказательство: В первой строке – непосредственно из определения, во второй: при любом вещ.

Ортонормированные системы функций-2 Система функций называется ортонормированной, если - символ Кронекера Примеры: тригонометрические функции (см. ряды Фурье), функции Система функций называется линейно независимой, если для любого конечного ненулевого набора чисел невозможно тождество Любая ортонормальная система состоит из линейно независимых функций, так как для них из следует Процесс ортогонализации Шмидта: преобразование системы линейно независимых функций в ортонормальную систему Задача: ортогонализировать на интервале (-1,1) систему функций (полиномы Лежандра)

Линейные операторы L Примеры: Интегральный оператор Дифференциальный оператор порядка m Неоднородное линейное уравнение u – искомая функция, интегрируема и удовлетворяет гран. условиям F – заданная функция (свободный член) Однородное уравнение всегда имеет решение u = 0 Всякое решение линейного неоднородного уравнения представляется в виде суммы частного решения этого уравнения и общего решения линейного однородного уравнения. Для того, чтобы решение неоднородного линейного уравнения было единственным, необходимо и достаточно, чтобы соответствующее однородное уравнение имело только нулевое решение. Функция u интегрируема и удовлетворяет гран. условиям

Линейные операторы-2 Пусть однородное уравнение имеет только нулевое решение u = 0. Тогда для любой функции F (интегрируемой) неоднородное уравнение имеет единственное решение Комплексное число, при котором это уравнение имеет ненулевые решения, называется собственным значением, а соответствующее решение – собственной функцией. При одном и том же возможны r линейно независимых решений (r – кратность). Тогда общее решение уравнения представляется суперпозицией частного решения и указанных линейно независимых решений:

Эрмитовы (самосопряженные) операторы Для того, чтобы линейный оператор L был эрмитовым, необходимо и достаточно, чтобы квадратичная форма (Lf,f) принимала только вещественные значения: Линейный оператор L называется положительным, если квадратичная форма (Lf,f) принимает только не отрицательные значения. Положительный оператор эрмитов. Если оператор L эрмитов (положительный), то все его собственные значения вещественны (не отрицательны), а собственные функции, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны. Доказательство: веществ. (не отриц.) Систему собственных функций эрмитова оператора L можно выбрать ортонормированной:

Пример 1. Существует ли обратный оператор? 2. Является ли оператор L эрмитовым (положительным)? 3. Найти собственные значения и собственные функции.

Гипергеометрическое уравнение (Гаусса) Особые точки (регулярные): Регулярное решение в окрестности особой точки z = 0 Так как ближайшая к 0 особая точка z = 1, при |z| < 1 гипергеометрический ряд сходится. Частный случай: Задание: найти F(-n,,,z)

Полиномы Лежандра Гипергеометрический ряд обрывается (сводится к полиному), если или равны целому неположительному числу. Рассмотрим случай: = k +1, = -k, = 1, k = 0,1,2,… Получим полиномы степени k: Замена Конечные особые точки - полиномы Лежандра (k = 0,1,2,…)

Полиномы Лежандра-2 0,5 1,0 - ортогональность -нормировка Вторые решения диф. уравнения сингулярны

Разложение по полиномам Лежандра

Задача Штурма-Лиувилля – собственное значение, y – собственная функция Существует возрастающая последовательность действительных собственных значений, стремящаяся к бесконечности, причем каждому соответствует определенная с точностью до постоянного множителя собственная функция, имеющая n нулей на интервале a < x < b. Функции образуют на [a,b] полную ортогональную (с весом p(x) для (*)) систему функций. При возрастании n собственные значения и функции для уравнения (**) стремятся к таковым для уравнения при тех же граничных условиях. Доказательства основываются на теории интегральных уравнений. (эрмитовы операторы)

Классификация квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка (в точке) Квазилинейность = линейность относительно всех старших производных. Произвольная неособенная в некоторой окрестности точки замена независимых переменных: D – якобиан, или функциональный определитель

Классификация-2 При в некоторой окрестности точки преобразование переменных взаимно-однозначно. Переменные x можно выразить через y: x = x(y). Исходное уравнение преобразуется к виду где

Классификация-3 Из линейной алгебры: Всегда существует неособенное (якобиан преобразование, при котором квадратичная относительно первых производных форма принимает канонический вид причем целые не отрицательные числа не зависят от вида преобразования. Эллиптический типm = n, все слагаемые одного знака Гиперболический типm = n, есть слагаемые разных знаков Параболический типm < n КЛАССИФИКАЦИЯ УРАВНЕНИЙ

Классификация-4 Эта классификация, вообще говоря, зависит от точки Например, уравнение Трикоми при y 0 – эллиптического типа. Примеры: Уравнение Лапласа – эллиптического типа Волновое уравнение – гиперболического типа Уравнение теплопроводности – параболического типа Вопрос: у какому типу принадлежит уравнение Гельмгольца:

Характеристики-1. Характеристики для волнового уравнения Волновое уравнение описывает, в частности, распространение фронта волны (перед фронтом поле отсутствует, u = 0 и а за фронтом имеются ненулевые значения). Поэтому на фронте волны значения поля терпят разрыв. С другой стороны, задание u и на поверхности общего вида (которая может двигаться в пространстве) определяет, в силу волнового уравнения, все высшие временные производные на этой поверхности. Тем самым определяется и значение поля на дифференциально близкой поверхности, а скачки поля оказываются невозможными. Этот вывод нарушается, только если данная поверхность (ее форма и движение) таковы, что значения высших производных не определяются значениями поля на поверхности. Тогда это характеристическая поверхность, или характеристика. Поэтому фронт волны должен быть характеристикой волнового уравнения. Задание поверхности: или В частности, при f = 0 это отвечает стандартному начальному условию при t = 0. Математически (см. слайд Характеристики-3) уравнение для характеристик волнового уравнения, или уравнение распространения фронта волны имеет вид

Характеристики-2. Уравнение распространения фронта э.-м. волны – одно из наиболее общих уравнений физики, в том числе имеет принципиальное значение в специальной и общей теории относительности (так как c – предельная скорость распространения любых сигналов). Частные решения этого уравнения фронт плоской волны фронт сферической волны Общая схема построения (движущегося) фронта волны – через лучи, распространяющиеся прямолинейно со скоростью с [В.А. Фок. Теория пространства, времени и тяготения, М., Физматлит]. Пример: резкое включение точечного источника света в момент времени поверхность границы засвеченной области – сфера с центром в точке расположения источника и радиусом Задание: два точечных источника, расположенных на расстоянии L, включаются с временной задержкой. Построить фронт э.-м. волны при различных моментах времени t и различных соотношениях параметров.

Характеристики-3 (Гипер-)поверхность называется характеристикой уравнения Если Знание характеристик позволяет упростить вид уравнения и его решение. Примеры: Волновое уравнение Имеется и решение в виде семейства касательных плоскостей к этим конусам (плоские волны)

Характеристики-4 Уравнения Лапласа (Пуассона) не зависит ни от одной координаты. Противоречит определению характеристик. Характеристик нет. Уравнение теплопроводности – вырожденного типа. зависит только от t. Можно считать характеристиками семейство t = const (стандартное начальное условие).

Постановка основных краевых задач для линейных диф. уравнений 2-го порядка Задача Коши для уравнений гиперболического и параболического типов во всем (бесконечном) пространстве: задаются начальные условия во всем пространстве, граничные условия ставятся на бесконечности. Задача Коши для уравнений гиперболического и параболического типов в конечной области: задаются начальные условия во всей области, граничные условия ставятся на границе области. Краевая задача для уравнений эллиптического типа: задаются граничные условия на границе области, начальные условия отсутствуют. Пример другого типа краевых задач – задача Гурса для уравнения гиперболического типа (краевое условие на двух пересекающихся характеристиках) 0 x y

Устойчивость решений Волновое уравнение Для монохроматического излучения с частотой – уравнение Гельмгольца Выделим ось z в качестве основного направления распространения излучения Можно ли решать задачу Коши (с начальными условиями), рассматривая z как эволюционную переменную? То есть, можно ли, задав u и при найти решение при других значениях z ?

Устойчивость-2 Уравнение Гельмгольца имеет решение в виде плоской волны (невозмущенное решение): «Начальные условия» при z = 0: Возмущенное решение можно разложить в интеграл Фурье по поперечным координатам: Тогда Имеются возмущения с поперечной пространственной частотой q > 0, амплитуда которых экспоненциально нарастает при увеличении z. Формально это означает неустойчивость. Но физически неустойчивости нет:

Корректность постановки задач мат. физики Необходимое условие корректности постановки задач мат. физики: Решение должно непрерывно зависеть от данных задачи (начальных и граничных условий, коэффициентов уравнения и свободного члена). Корректно поставленные задачи для линейных уравнений мат. физики имеют единственное решение. Проверим, корректно ли поставлена задача Коши для уравнения Гельмгольца При имеется тривиальное решение Пусть Тогда задача имеет решение «Начальные условия» удовлетворяются. Но решение ненулевое: Тем самым, задача поставлена некорректно. Пример Адамара для уравнения Лапласа – задача Коши ставится некорректно.

Корректная постановка задачи для уравнения Гельмгольца Условия излучения Зоммерфельда, задача дифракции плоской волны Рассеянное излучение на бесконечности должно иметь вид уходящих сферических волн (сходящиеся сферические волны в рассеянном излучении отсутствуют).

Сферически симметричные решения для волнового уравнения и уравнения теплопроводности Волновое ур-ние Ур-ние теплопроводности Уравнение начальные условия при t = 0 граничные условия при r = R Разделение переменных Сферическая система координат, r – радиус, R – радиус сферы

Сферически симметричные решения-2 Преобразованием неизвестной функции устраняем член с первой производной Постоянная k и, следовательно, = ka, определяются из граничных условий

Сферически симметричные решения-3 Решение ур-ния теплопроводности, удовлетворяющее граничным условиям: Начальное условие Функции ортогональны на промежутке (0,R) (как и в задаче о струне) Уравнение теплопроводности

Сферически симметричные решения-4 Волновое уравнение Решение ур-ния, удовлетворяющее граничным условиям: Начальные условия Ортогональность функций и r на промежутке (0,R) Аналогично

Сферические функции и функции Лежандра Уравнение Лапласа в декартовых координатах Ищем решения в виде однородных полиномов по x,y,z. Полином степени n = 0: (одно решение) (три линейно-независимых решения) (5 лин.-незав. решений) (7 лин.-незав. решений) (2n + 1) линейно- независимых однородных полиномов степени n, удовлетворяющих уравнению Лапласа

Сферические функции и функции Лежандра-2 Сферические координаты Однородный гармонический (удовлетворяет ур-нию Лапласа) полином степени n - объемная сферическая функция - сферическая функция порядка n Вспомогательный интеграл - произвольная функция своих аргументов (дифференцируемая дважды) Выбираем f в виде

Сферические функции и функции Лежандра-3 В первом из двух интегралов Аналогично во втором интеграле Все построенные (2n + 1) функции линейно независимы и ортогональны на интервале (-, ) (*)

Сферические функции и функции Лежандра-4 Далее мы выразим (*) и (**) через введенные ранее полиномы Лежандра, удовлетворяющие уравнению Присоединенные полиномы Лежандра Они также выражаются через гипергеометрическую функцию и удовлетворяют уравнению

Сферические функции и функции Лежандра-5 Выведем другие выражения для функций Лежандра. По теореме Коши (компл. ф-ции) (Точка z = x – внутри контура С) Дифференцируем по х n раз Выбираем С: окружность с центром z = x радиусом При замене переходит в (*).

Сферические функции и функции Лежандра-6 Аналогично При замене переходит в (**).

Сферические функции и функции Лежандра-7 Общий вид сферической функции порядка n: Функции в правых частях линейно независимы и ортогональны. Нормировка При интегрировании по поверхности сферы единичного радиуса Пользуясь этими соотношениями, можно разлагать по сферическим функциям «произвольные» функции на сфере

Разложение по сферическим функциям

Функция Грина G Применяется для решения неоднородных уравнений с линейным оператором L Обобщенное решение ( – дельта-функция Дирака). Это означает, что для «любой» функции ϕ Функция Грина G, вообще говоря, определяется не однозначно, а с точностью до слагаемого, являющегося произвольным решением однородного уравнения Иногда определение с другим знаком Физический смысл функции Грина (функция источника, функция распространения, …)

Функция Грина и система собственных функций оператора Полнота системы функций : «Любую» функцию можно разложить в ряд по собственным функциям - критерий полноты системы Проверяется при воздействии оператора L на обе части соотношения

Функция Грина для задачи Штурма – Лиувилля (обыкновенные диф. уравнения) Оператор граничных условий Оператор Штурма – Лиувилля на интервале 0 < x < l Постановка задачи: Считаем, что однородная задача (при f = 0) имеет только тривиальное решение. Тогда, В точке x = s функция g непрерывна, а производная

Функция Грина, задача Штурма – Лиувилля, пример ;. Коэффициенты А и В не зависят от x, но могут зависеть от s и различаться при x s. Граничные условия: Непрерывность Скачок производной Задание : записать решение неоднородного уравнения (*) с указанными граничными условиями (*)

Функция Грина для оператора Лапласа В неограниченной области (границы на конечном расстоянии отсутствуют) Выражение для электрического потенциала через электрическую плотность заряда - закон Кулона для электростатического потенциала ρ - плотность эл. заряда ϕ – электростатич. потенциал Уравнение Пуассона

Функция Грина для оператора теплопроводности В неограниченной области (границы на конечном расстоянии отсутствуют) Уравнение теплопроводности Мы получали подобную формулу в одномерном случае (n = 1). Возможно доказательство с помощью преобразования Фурье.

Функция Грина для оператора Гельмгольца В неограниченной области (границы на конечном расстоянии отсутствуют, n = 3) решением служат сходящиеся и расходящиеся сферические волны Неоднор. уравнение Гельмгольца В одномерном варианте (n = 1) решение – плоские волны

Задача Полубесконечная струна: смещение u удовлетворяет волновому уравнению Найти u(x,t), t > 0

Сведение решения неоднородного уравнения к решению однородного уравнения Пример: волновое уравнение в неограниченном пространстве. Однородное уравнение Решения для различной размерности приводились ранее. Требуется решить неоднородное уравнение с нулевыми начальными условиями: (если начальные условия ненулевые, то нужно еще добавить решение однородного уравнения с этими нач. условиями)

Сведение решения неоднородного уравнения к решению однородного уравнения-2 Рассмотрим однородное уравнение с начальными условиями Покажем, что решением исходной задачи служит Решение этой задачи известно: Доказательство:

Сведение решения неоднородного уравнения к решению однородного уравнения-3

Явный вид решения (нулевые нач. условия)

Конечная область, вынужденные колебания, метод Фурье

Конечная область, вынужденные колебания, метод Фурье-2

Ненулевые граничные условия Вводим вспомогательную (известную) функцию

Задача Найти вынужденные колебания