Лекция 11 Дискретное преобразование Фурье

Преобразование Фурье где : Дискретный сигнал бесконечной длительности ; Спектр дискретного сигнала – непрерывная периодическая функция частоты w c периодом равным частоте дискретизации. Алгоритм вычисления непрерывного спектраконечной последовательностина периодев дискретных точках называется дискретным преобразованием Фурье ( ДПФ )

ДПФ периодической последовательности Периодическую последовательностьс периодом можно представить в виде ряда, если заменить : 1)Непрерывное время дискретным 2)Период по времени t – периодом по времени То есть Период дискретизации по частотебудет равен Представлениев виде ряда нормированном по времени примет вид :, где - коэффициенты Фурье - номер коэффициента Фурье а коэффициент Фурье

Представим : 1) последовательностьВ виде бесконечной суммы одного её периода, сдвинутого по оси n на mN, где m=…,-1,0,1,… 2)Бесконечную сумму в виде бесконечного числа конечных сумм из N Слагаемых, сдвинутых по оси k на mN, где m =…,-1,0,1,… Сделав замены, мы получим : Откуда, ДПФ для последовательности во временной области :

Взаимосвязь Взаимосвязь между спектрами периодических аналоговых и дискретных сигналов :

ДПФ для последовательности в частотной области

Итак … Дискретное преобразование Фурье ( ДПФ ) периодической последовательности x p (n) называется пара взаимно однозначных дискретных рядов Фурье для последовательностей во временной и частотной области : Прямое преобразование Обратное преобразование ( ОДПФ ) Где : Один период последовательности во временной области ( вещественной или комплексной ). Дискретные коэффициенты Фурье - один период последовательности в частотной области.

ДПФ конечной последовательности Какое количество точек выбрать ? Теорема Котельникова Суть теоремы Котельникова во временной области Замены Суть теоремы Котельникова в частотной области

Замены 1) Время заменим на частоту 2) Ширину конечного спектрана интервале на длительность конечного сигнала 3) Период дискретизации по времени Т – на период дискретизации по частоте Соответственно, с учетом соотношения междуи

ДПФ конечной последовательности Для дискретного сигнала получаем В нормированном времени : Это нам позволяет определить спектр таким образом :

Итак … ДПФ описывает алгоритм вычисления N- точечной последовательности X(k), в частотной области ОДПФ алгоритм вычисления N- точечной последовательности x(n) во временной области ДПФ справедливо как для периодической, так и для конечной последовательности

Свойства ДПФ Периодичность Линейность Сдвиг ( смещение ) N- точечного ДПФ Сдвиг ( задержка ) N- точечной последовательности Равенство ( теорема ) Парсеваля Свойства симметрии

Дополнительные свойства ДПФ Круговая ( периодическая, циклическая свертка ); ДПФ произведения периодической последовательности ( теорема свертки в частной области ); Линейная ( апериодическая ) свертка ; Секционированные свертки.

Конец Спасибо за внимание.