Теория пластин Изгиб пластины в ортогональных криволинейных координатах: геометрические соотношения энергия упругого деформирования пластины внутренние силовые факторы уравнение прогиба пластины

Геометрические соотношения Рассмотрим пластину (рис.1), отнесенную к криволинейной системе координат α, β, z; Hα, Hβ, Hz =1 - параметры Ламе. Рис.1. Пластина в ортогональных криволинейных координатах Для построения основных соотношений изгиба пластины примем гипотезы Кирхгофа. Пусть и - перемещение точки вдоль α, v - вдоль р, w - вдоль z (прогиб).

Геометрические соотношения Геометрические соотношения теории упругости в криволинейных координатах имеют вид: (1) (2) Принимаем гипотезу о не деформируемости нормали: ε z = 0, учитывая, что H z = 1 и тогда (3) Принимаем гипотезу об ортогональности нормали к серединной плоскости при деформировании (γαz = γβz = 0) (4)

Интегрируя уравнение по z, (5) Пусть срединная плоскость выбрана так, что z c = 0, принимая предположение о не деформируемости срединной плоскости ( u |z=0 =0 ), получим φ(α,β) = 0, тогда окончательно (6) Оставшиеся геометрические соотношения используем, учитывая (7) Геометрические соотношения

Для определения деформации в произвольной точке пластины: (8) Аналогично (9)

Энергия упругого деформирования пластины Рассмотрим уравнение (10) здесь (11) Таким образом (12)

Внутренние силовые факторы В пластине возникают изгибающие М α, М β и крутящий М аβ моменты: (13) аналогично можно получить соотношения для М β и М αβ

Уравнение прогиба пластины Проекция сил на ось z (Рис.2) : (14) Рис.2. Усилия и моменты, действующие на элемент пластины

Уравнение прогиба пластины Уравнение моментов относительно оси β: (15) аналогично можно получить уравнение моментов относительно оси α: (16) Подставляя полученные уравнения (15) и (16) в (14), получим (17) Подставляя выражения для моментов найдем дифференциальное уравнения прогиба анизотропной пластины в криволинейных координатах.