1 Электрический диполь Электрическим диполем называется система двух одинаковых по величине, но разноименных точечных зарядов, расстояние между которыми значительно меньше расстояния до тех точек, в которых определяется поле системы Электрическим диполем называется система двух одинаковых по величине, но разноименных точечных зарядов, расстояние между которыми значительно меньше расстояния до тех точек, в которых определяется поле системы

2 Электрический диполь А

3 Обозначим вектор: – электрический момент диполя (или дипольный момент) – произведение положительного заряда диполя на плечо. Обозначим вектор: – электрический момент диполя (или дипольный момент) – произведение положительного заряда диполя на плечо. Направление совпадает с направлением, т.е. от отрицательного заряда к положительному. Направление совпадает с направлением, т.е. от отрицательного заряда к положительному. Тогда, учитывая что, получим: Тогда, учитывая что, получим:

4 Электрический диполь Плечо диполя – вектор, направленный от отрицательного заряда к положительному и численно равный расстоянию между зарядами.

5 Пример 1. Найдем Е в точке А на прямой, проходящей через центр диполя и перпендикулярной к оси. Из подобия треугольников

6 Пример 2. На оси диполя, в точке В :

7 Пример 3. В произвольной точке С

8 Теорема Остроградского-Гаусса Теорема Остроградского-Гаусса, которую мы докажем и обсудим позже, устанавливает связь между электрическими зарядами и электрическим полем. Она представляет собой более общую и более изящную формулировку закона Кулона. Основная ценность теоремы Остроградского- Гаусса состоит в том, что она позволяет глубже понять природу электростатического поля и устанавливает более общую связь между зарядом и полем.

9 Гаусс Карл Фридрих (1777 – 1855) С именем Гаусса связаны фундаментальные исследования почти во всех основных областях математики: алгебре, дифференциальной и неевклидовой геометрии, в математическом анализе, теории функций комплексного переменного, теории вероятностей, а также в астрономии, геодезии и механике. «В каждой области глубина проникновения в материал, смелость мысли и значительность результата были поражающими. алгебре дифференциальной неевклидовой геометрии математическом анализе теории функций комплексного переменного теории вероятностей астрономии геодезии механике

10 Гаусс Карл Фридрих (1777 – 1855) Для минимизации влияния ошибок измерения Гаусс использовал свой метод наименьших квадратов, который сейчас повсеместно применяется в статистике.ошибок измерения метод наименьших квадратов статистике Хотя Гаусс не первый открыл распространённый в природе нормальный закон распределения, но он настолько тщательно его исследовал, что график распределения с тех пор часто называют гауссианой. нормальный закон распределения В физике Гаусс заложил основы математической теории электромагнетизма, развил теорию капиллярности, теорию системы линз.физике электромагнетизма Введено понятие потенциала электрического поля.потенциала электрического поля Разработал систему электромагнитных единиц измерения СГС. СГС Сконструировал, совместно с Вебером, примитивный телеграф.Вебером телеграф

11 Список терминов, связанных с именем Гаусса Алгоритм Гаусса (вычисления даты пасхи) Гаусс (единица измерения) Дискриминанты Гаусса Гауссова кривизна Интерполяционная формула Гаусса Лента Гаусса Малая планета 1001 (Gaussia) Малая планета Метод Гаусса (решения систем линейных уравнений) Метод Гаусса Метод Гаусса-Жордана Метод Гаусса-Зейделя Нормальное или Гауссово распределение Прямая Гаусса Пушка Гаусса Ряд Гаусса Теорема Гаусса Ванцеля Фильтр Гаусса Формула Гаусса Бонне Постоянная Гаусса

12 Поток вектора Таким образом, поток вектора есть скаляр, который в зависимости от величины угла α может быть как положительным, так и отрицательным.

13 Поток вектора напряженности В однородном поле В произвольном электрическом поле

14 Поток вектора напряженности от единичного заряда

15 Поток вектора напряженности от единичного заряда Подсчитаем поток вектора через произвольную замкнутую поверхность S, окружающую точечный заряд q. Окружим заряд q сферой S1. Центр сферы совпадает с центром заряда. Радиус сферы S1 равен R1. В каждой точке поверхности S1 проекция Е на направление внешней нормали одинакова и равна

16 Поток вектора напряженности от единичного заряда Тогда поток через S 1 Тогда поток через S 1 Подсчитаем поток через сферу S2, имеющую радиус R2:

17 Поток вектора напряженности от единичного заряда Из непрерывности линий напряженности следует, что поток и через любую произвольную поверхность S будет равен этой же величине: Из непрерывности линий напряженности следует, что поток и через любую произвольную поверхность S будет равен этой же величине: теорема Гаусса для одного заряда

18 Теорема Гаусса для нескольких зарядов. Для любого числа произвольно расположенных зарядов, находящихся внутри поверхности: – теорема Гаусса для нескольких зарядов. Поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность в вакууме равен алгебраической сумме всех зарядов, расположенных внутри поверхности, деленной на ε 0.

19 Полный поток проходящий через S3, не охватывающую заряд q, равен нулю:

20 Теорема Гаусса Таким образом, для точечного заряда q, полный поток через любую замкнутую поверхность S будет равен: если заряд расположен внутри замкнутой поверхности; – если заряд расположен вне замкнутой поверхности; этот результат не зависит от формы поверхности, и знак потока совпадает со знаком заряда. этот результат не зависит от формы поверхности, и знак потока совпадает со знаком заряда.

21 Электрические заряды могут быть «размазаны» с некоторой объемной плотностью различной в разных местах пространства: Здесь dV – физически бесконечно малый объем, под которым следует понимать такой объем, который с одной стороны достаточно мал, чтобы в пределах его плотность заряда считать одинаковой, а с другой – достаточно велик, чтобы не могла проявиться дискретность заряда, т.е. то, что любой заряд кратен целому числу элементар-ных зарядов электрона или протона.

22 Суммарный заряд объема dV будет равен: Тогда из теоремы Гаусса можно получить: – это ещё одна форма записи теоремы Остроградского-Гаусса, если заряд неравномерно распределен по объему.

23 Дифференциальная форма теоремы Остроградского-Гаусса Пусть заряд распределен в пространстве V, с объемной плотностью. Тогда

24 Теперь устремим, стягивая его к интересующей нас точке. Очевидно, что при этом будет стремиться к ρ в данной точке, т.е. Величину, являющуюся пределом отношения к V, при, называют дивергенцией поля Е и обозначается.

25 Дивергенция поля Е. Аналогично определяется дивергенция любого другого векторного поля. Из этого определения следует, что дивергенция является скалярной функцией координат. В декартовой системе координат

26 Итак, (2.4.3) Это теорема Остроградского- Гаусса в дифференциальной форме. Написание многих формул упрощается, если ввести векторный дифференциальный оператор (Набла) где i, j, k – орты осей (единичные векторы).

27 Сам по себе оператор смысла не имеет. Он приобретает смысл в сочетании с векторной или скалярной функцией, на которую символично умножается: дифференциальная форма теоремы Остроградского-Гаусса.

28 В тех точках поля, где – (положительные заряды) источники поля, где – стоки (отрицательные заряды). Линии выходят из источников и заканчиваются в стоках.

29 Вычисление электрических полей с помощью теоремы Остроградского-Гаусса

30 Поле бесконечной однородно заряженной плоскости

31 Поверхностная плотность заряда на произвольной плоскости площадью S определяется по формуле: dq – заряд, сосредоточенный на площади dS; dS – физически бесконечно малый участок поверхности. dS – физически бесконечно малый участок поверхности.

32 Представим себе цилиндр с образующими, перпендикулярными плоскости, и основаниями ΔS, расположенными симметрично относительно плоскости Тогда

33 Суммарный поток через замкнутую поверхность (цилиндр) будет равна: Внутри поверхности заключен заряд. Следовательно, из теоремы Остроградского-Гаусса получим: откуда видно, что напряженность поля плоскости S равна:

34 Поле двух равномерно заряженных плоскостей Пусть две бесконечные плоскости заряжены разноименными зарядами с одинаковой по величине плотностью σ

35 Результирующее поле, как было сказано выше, находится как суперпозиция полей, создаваемых каждой из плоскостей. Тогда внутри плоскостей Вне плоскостей напряженность поля Полученный результат справедлив и для плоскостей конечных размеров, если расстояние между плоскостями гораздо меньше линейных размеров плоскостей (плоский конденсатор).

36 Распределение напряженности электростатического поля между пластинами конденсатора показано на рисунке:Распределение напряженности электростатического поля между пластинами конденсатора показано на рисунке:

37 Между пластинами конденсатора действует сила взаимного притяжения (на единицу площади пластин): т.е. Механические силы, действующие между заряженными телами, называют пондеромоторными.

38 Сила притяжения между пластинами конденсатора: где S – площадь обкладок конденсатора. Т.к. Это формула для расчета пондеромоторной силы

39 Поле заряженного бесконечного цилиндра (нити) Пусть поле создается бесконечной цилиндрической поверхностью радиуса R, заряженной с постоянной линейной плотностью где dq – заряд, сосредоточенный на отрезке цилиндра

40 Представим вокруг цилиндра (нити) коаксиальную замкнутую поверхность (цилиндр в цилиндре) радиуса r и длиной l (основания цилиндров перпендикулярно оси). Для оснований цилиндров для боковой поверхности т.е. зависит от расстояния r. Следовательно, поток вектора через рассматриваемую поверхность, равен

41 При на поверхности будет заряд По теореме Остроградского-Гаусса Тогда Если, т.к. внутри замкнутой поверхности зарядов нет.

42 Графически распределение напряженности электростатического поля цилиндра

43