Определенный интеграл с переменным верхним пределом. Опр. 7. Пусть функция y=f(x) интегрируема на [ a, b ] тогда она интегрируема на любом отрезке [a, x], где a x b и имеет смысл интеграл J(x) определена на [a, b] и называется интегралом с переменным верхним пределом. Теорема 13. Пусть функция y=f(x) непрерывна на [ a, b ]. Определенный интеграл с переменным верхним пределом от непрерывной на [a, b] функции y=f(x) является первообразной для подынтегральной функции f(x) то есть (Или функция имеет производную причем )

Следствие Теорема 13*. Всякая непрерывная функция имеет непрерывную первообразную

Теорема 14. (Ньютона-Лебница) Если F(x) - какая-либо первообразная от непрерывной функции y=f(x), то справедлива формула - знак подстановки. Читают F(x) от a до b. Замечание. Формула Ньютона-Лейбница справедлива и для кусочно- непрерывных функций.

Формула Ньютона-Лейбница (основная теорема интегрального исчисления, связывает сумму Римана – определенный интеграл – с первообразной) Из сохранившихся документов историки науки выяснили, что дифференциальное и интегральное исчисление Ньютон открыл ещё в годы, однако не публиковал его до 1704 года. Сэр Исаа́к Нью́тон (4 января марта 1727) английский физик, математик и астроном, один из создателей классической физики. Разработал дифференциальное и интегральное исчисление.

Готфрид Вильгельм фон Лейбниц (1646) разработал свой вариант анализа независимо (с 1675 года), хотя первоначальный толчок, вероятно, его мысль получила из слухов о том, что такое исчисление у Ньютона уже имеется, а также благодаря научным беседам в Англии и переписке с Ньютоном. В отличие от Ньютона, Лейбниц опубликовал свою версию, и в дальнейшем, вместе с Якобом и Иоганном Бернулли, широко пропагандировал это эпохальное открытие по всей Европе. Большинство учёных на континенте не сомневались, что анализ открыл Лейбниц. Готфрид Вильгельм фон Лейбниц ( ) Немецкий философ, математик, юрист, дипломат

Методы вычисления определенного интеграл - Табличное - Интегрирование по частям - Интегрирование методом подстановки Теорема 15. Пусть функция y=f(x) непрерывна на [ a, b ] и дан интеграл Введем новую переменную t по формуле x = (t) Если 1) = a, = b 2) t) и '(t) непрерывны на [ ] 3) f [ (t)] определена и непрерывна на [ ] то

Интегралы по симметричному промежутку от четной и нечетной функции. Теорема 16. Пусть y=f(x) непрерывная четная на [- a, a ] функция, тогда y x f(x) -a a S1S1 S2S2 Теорема 16*. Пусть y=f(x) непрерывная нечетная на [- a, a ] функция, тогда y x f(x) -a a S-S- S+S+

Терминология Переменный верхний предел Формула Ньютона-Лейбница Симметричный промежуток Четная функция Нечетная функция Понимать! Уметь произносить! Запомнить! Использовать!