Мария Васильева 10 класс Электростатика

Тема 3. ПОТЕНЦИАЛ И РАБОТА ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОГО ПОЛЯ. СВЯЗЬ НАПРЯЖЕННОСТИ С ПОТЕНЦИАЛОМ 3.1. Теорема о циркуляции вектора 3.1. Теорема о циркуляции вектора 3.2. Работа сил электростатического поля Работа сил электростатического поля. Потенциальная энергия Потенциальная энергия 3.3. Потенциал. Разность потенциалов 3.3. Потенциал. Разность потенциалов 3.4. Связь между напряженностью и потенциалом 3.4. Связь между напряженностью и потенциалом 3.5. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности 3.5. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности 3.6. Расчет потенциалов простейших 3.6. Расчет потенциалов простейших электростатических полей электростатических полей

3.1. Теорема о циркуляции вектора В предыдущей теме было показано, что взаимодействие между покоящимися зарядами осуществляется через электростатическое поле. Описание электростатического поля мы рассматривали с помощью вектора напряженности, равного силе, действующей в данной точке на помещенный в неё пробный единичный положительный заряд В предыдущей теме было показано, что взаимодействие между покоящимися зарядами осуществляется через электростатическое поле. Описание электростатического поля мы рассматривали с помощью вектора напряженности, равного силе, действующей в данной точке на помещенный в неё пробный единичный положительный заряд

Существует и другой способ описания поля – с помощью потенциала. Однако для этого необходимо сначала доказать, что силы электростатического поля консервативны, а само поле потенциально. Существует и другой способ описания поля – с помощью потенциала. Однако для этого необходимо сначала доказать, что силы электростатического поля консервативны, а само поле потенциально.

Рассмотрим поле, создаваемое неподвижным точечным зарядом. В любой точке этого поля на пробный точечный заряд q действует сила Рассмотрим поле, создаваемое неподвижным точечным зарядом. В любой точке этого поля на пробный точечный заряд q действует сила

где F(r) – модуль вектора силы, – единичный вектор, определяющий положение заряда q относительно, ε 0 – электрическая постоянная. где F(r) – модуль вектора силы, – единичный вектор, определяющий положение заряда q относительно, ε 0 – электрическая постоянная.

Для того, чтобы доказать, что электростатическое поле потенциально, нужно доказать, что силы электростатического поля консервативны. Для того, чтобы доказать, что электростатическое поле потенциально, нужно доказать, что силы электростатического поля консервативны. Из раздела «Физические основы механики» известно, что любое стационарное поле центральных сил является консервативным, т.е. работа сил этого поля не зависит от формы пути, а только от положения конечной и начальной точек. Из раздела «Физические основы механики» известно, что любое стационарное поле центральных сил является консервативным, т.е. работа сил этого поля не зависит от формы пути, а только от положения конечной и начальной точек.

Вычислим работу, которую совершает электростатическое поле, созданное зарядом по перемещению заряда q из точки 1 в точку 2. Вычислим работу, которую совершает электростатическое поле, созданное зарядом по перемещению заряда q из точки 1 в точку 2. Работа на пути dl равна: Работа на пути dl равна: где dr – приращение радиус-вектора при перемещении на dl; где dr – приращение радиус-вектора при перемещении на dl;

Полная работа при перемещении из точки 1 в точку 2 равна интегралу: Полная работа при перемещении из точки 1 в точку 2 равна интегралу:

Работа электростатических сил не зависит от формы пути, а только лишь от координат начальной и конечной точек перемещения. Следовательно, силы поля консервативны, а само поле – потенциально. Работа электростатических сил не зависит от формы пути, а только лишь от координат начальной и конечной точек перемещения. Следовательно, силы поля консервативны, а само поле – потенциально.

Если в качестве пробного заряда, перенесенного из точки 1 заданного поля в точку 2, взять положительный единичный заряд q, то элементарная работа сил поля будет равна: Если в качестве пробного заряда, перенесенного из точки 1 заданного поля в точку 2, взять положительный единичный заряд q, то элементарная работа сил поля будет равна:

Тогда вся работа равна: Тогда вся работа равна: (3.1.3) (3.1.3) Такой интеграл по замкнутому контуру называется циркуляцией вектора Такой интеграл по замкнутому контуру называется циркуляцией вектора Из независимости линейного интеграла от пути между двумя точками следует, что по произвольному замкнутому пути: Из независимости линейного интеграла от пути между двумя точками следует, что по произвольному замкнутому пути: (3.1.4) (3.1.4) Это утверждение и называют теоремой о циркуляции. Это утверждение и называют теоремой о циркуляции.

Для доказательства теоремы разобьем произвольно замкнутый путь на две части: 1 а 2 и 2b1 (рисунок 3.2). Из сказанного выше следует, что Для доказательства теоремы разобьем произвольно замкнутый путь на две части: 1 а 2 и 2b1 (рисунок 3.2). Из сказанного выше следует, что (Интегралы по модулю равны, но знаки противоположны). Тогда работа по замкнутому пути: (Интегралы по модулю равны, но знаки противоположны). Тогда работа по замкнутому пути:

Теорема о циркуляции позволяет сделать ряд важных выводов, практически не прибегая к расчетам. Рассмотрим два простых примера, подтверждающих это заключение. Теорема о циркуляции позволяет сделать ряд важных выводов, практически не прибегая к расчетам. Рассмотрим два простых примера, подтверждающих это заключение. 1)Линии электростатического поля не могут быть замкнутыми. В самом деле, если это не так, и какая-то линия – замкнута, то, взяв циркуляцию вдоль этой линии, мы сразу же придем к противоречию с теоремой о циркуляции вектора :. А в данном случае направление интегрирования в одну сторону, поэтому циркуляция вектора не равна нулю. 1)Линии электростатического поля не могут быть замкнутыми. В самом деле, если это не так, и какая-то линия – замкнута, то, взяв циркуляцию вдоль этой линии, мы сразу же придем к противоречию с теоремой о циркуляции вектора :. А в данном случае направление интегрирования в одну сторону, поэтому циркуляция вектора не равна нулю.

3.2. Работа сил электростатического поля. Потенциальная энергия Мы сделали заключение, что электростатическое поле потенциально. Следовательно, можно ввести функцию состояния, зависящую от координат – потенциальную энергию. Мы сделали заключение, что электростатическое поле потенциально. Следовательно, можно ввести функцию состояния, зависящую от координат – потенциальную энергию.

Исходя из принципа суперпозиции сил, Исходя из принципа суперпозиции сил, можно показать, что общая работа А будет равна сумме работ каждой силы: можно показать, что общая работа А будет равна сумме работ каждой силы: Здесь каждое слагаемое не зависит от формы пути, следовательно, не зависит от формы пути и сумма. Здесь каждое слагаемое не зависит от формы пути, следовательно, не зависит от формы пути и сумма.

Работу сил электростатического поля можно выразить через убыль потенциальной энергии – разность двух функций состояний: Работу сил электростатического поля можно выразить через убыль потенциальной энергии – разность двух функций состояний: (3.2.2) (3.2.2) Это выражение для работы можно переписать в виде: Это выражение для работы можно переписать в виде: (3.2.3) (3.2.3) Сопоставляя формулу (3.2.2) и (3.2.3), получаем выражение для потенциальной энергии заряда q' в поле заряда q: Сопоставляя формулу (3.2.2) и (3.2.3), получаем выражение для потенциальной энергии заряда q' в поле заряда q: (3.2.4) (3.2.4)

3.3. Потенциал. Разность потенциалов Разные пробные заряды q',q'',… будут обладать в одной и той же точке поля разными энергиями W', W'' и так далее. Однако отношение будет для всех зарядов одним и тем же. Поэтому можно вести скалярную величину, являющуюся энергетической характеристикой собственно поля – потенциал: Разные пробные заряды q',q'',… будут обладать в одной и той же точке поля разными энергиями W', W'' и так далее. Однако отношение будет для всех зарядов одним и тем же. Поэтому можно вести скалярную величину, являющуюся энергетической характеристикой собственно поля – потенциал:

Из этого выражения следует, что потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд. Из этого выражения следует, что потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладает в данной точке поля единичный положительный заряд.

Подставив в (3.3.1.) значение потенциальной энергии (3.2.4), получим для потенциала точечного заряда следующее выражение: Подставив в (3.3.1.) значение потенциальной энергии (3.2.4), получим для потенциала точечного заряда следующее выражение: (3.3.2) (3.3.2) Потенциал, как и потенциальная энергия, определяют с точностью до постоянной интегрирования. Потенциал, как и потенциальная энергия, определяют с точностью до постоянной интегрирования.

физический смысл имеет не потенциал, а разность потенциалов, поэтому договорились считать, что потенциал точки, удаленной в бесконечность, равен нулю. физический смысл имеет не потенциал, а разность потенциалов, поэтому договорились считать, что потенциал точки, удаленной в бесконечность, равен нулю. Когда говорят «потенциал такой-то точки» – имеют в виду разность потенциалов между этой точкой и точкой, удаленной в бесконечность. Когда говорят «потенциал такой-то точки» – имеют в виду разность потенциалов между этой точкой и точкой, удаленной в бесконечность.

Другое определение потенциала: Другое определение потенциала: т.е. потенциал численно равен работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при удалении его из данной точки в бесконечность т.е. потенциал численно равен работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при удалении его из данной точки в бесконечность (или наоборот – такую же работу нужно совершить, чтобы переместить единичный положительный заряд из бесконечности в данную точку поля). При этом, если q > 0. (или наоборот – такую же работу нужно совершить, чтобы переместить единичный положительный заряд из бесконечности в данную точку поля). При этом, если q > 0.

Если поле создается системой зарядов, то, используя принцип суперпозиции, получаем: Если поле создается системой зарядов, то, используя принцип суперпозиции, получаем: (3.3.3) (3.3.3) Тогда и для потенциала или Тогда и для потенциала или (3.3.4) (3.3.4) т.е. потенциал поля, создаваемый системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности. т.е. потенциал поля, создаваемый системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности. А вот напряженности складываются при наложении полей – векторно. А вот напряженности складываются при наложении полей – векторно.

Выразим работу сил электростатического поля через разность потенциалов между начальной и конечной точками: Выразим работу сил электростатического поля через разность потенциалов между начальной и конечной точками: Таким образом, работа над зарядом q равна произведению заряда на убыль потенциала: Таким образом, работа над зарядом q равна произведению заряда на убыль потенциала: (3.3.6) (3.3.6) где U – напряжение. где U – напряжение.

Формулу можно использовать для установления единиц потенциала: Формулу можно использовать для установления единиц потенциала: за единицу φ принимают потенциал в такой точке поля, для перемещения в которую из бесконечности единичного положительного заряда необходимо совершить работу равную единице. за единицу φ принимают потенциал в такой точке поля, для перемещения в которую из бесконечности единичного положительного заряда необходимо совершить работу равную единице. В СИ единица потенциала В СИ единица потенциала Электрон - вольт (эВ) – это работа, совершенная силами поля над зарядом, равным заряду электрона при прохождении им разности потенциалов 1 В, то есть: Электрон - вольт (эВ) – это работа, совершенная силами поля над зарядом, равным заряду электрона при прохождении им разности потенциалов 1 В, то есть:

3.4. Связь между напряженностью и потенциалом Изобразим перемещение заряда q по произвольному пути l в электростатическом поле. Изобразим перемещение заряда q по произвольному пути l в электростатическом поле. Работу, совершенную силами электростатического поля на бесконечно малом отрезке можно найти так: Работу, совершенную силами электростатического поля на бесконечно малом отрезке можно найти так: (3.4.1) (3.4.1)

эта работа, если она совершена электростатическим полем, равна убыли потенциальной энергии заряда, перемещенного на расстоянии dl: эта работа, если она совершена электростатическим полем, равна убыли потенциальной энергии заряда, перемещенного на расстоянии dl: отсюда отсюда (3.4.2 ) (3.4.2 )

Для ориентации dl (направление перемещения) в пространстве, надо знать проекции на оси координат: Для ориентации dl (направление перемещения) в пространстве, надо знать проекции на оси координат: где i, j, k – орты осей – единичные векторы. где i, j, k – орты осей – единичные векторы. По определению градиента сумма первых производных от какой-либо функции по координатам есть градиент этой функции По определению градиента сумма первых производных от какой-либо функции по координатам есть градиент этой функции – вектор, показывающий направление наибыстрейшего увеличения функции. – вектор, показывающий направление наибыстрейшего увеличения функции.

Коротко связь между и φ записывается так: Коротко связь между и φ записывается так: (3.4.4) (3.4.4) или так: или так: (3.4.5) (3.4.5) где (набла) означает символический вектор, называемый оператором Гамильтона. где (набла) означает символический вектор, называемый оператором Гамильтона. Знак минус говорит о том, что вектор направлен в сторону уменьшения потенциала электрического поля. Знак минус говорит о том, что вектор направлен в сторону уменьшения потенциала электрического поля.

3.5. Безвихревой характер электростатического поля Из условия следует одно важное соотношение, а именно, величина, векторного произведения для стационарных электрических полей всегда равна нулю. Действительно, по определению, имеем Из условия следует одно важное соотношение, а именно, величина, векторного произведения для стационарных электрических полей всегда равна нулю. Действительно, по определению, имеем,, поскольку определитель содержит две одинаковые строки. поскольку определитель содержит две одинаковые строки.

Величина называется ротором или вихрем Величина называется ротором или вихрем Мы получаем важнейшее уравнение электростатики: Мы получаем важнейшее уравнение электростатики: (3.5.1) (3.5.1) Таким образом кулоновское электростатическое поле – Таким образом кулоновское электростатическое поле – безвихревое.

Согласно теореме Стокса, присутствует следующая связь между контурным и поверхностным интегралами: Согласно теореме Стокса, присутствует следующая связь между контурным и поверхностным интегралами: где контур L ограничивающий поверхность S, ориентация которой определяется направлением вектора положительной нормали : где контур L ограничивающий поверхность S, ориентация которой определяется направлением вектора положительной нормали : Поэтому работа при перемещении заряда по любому замкнутому пути в электростатическом поле равна нулю. Поэтому работа при перемещении заряда по любому замкнутому пути в электростатическом поле равна нулю.

3.6. Силовые линии и эквипотенциальные поверхности Направление силовой линии (линии напряженности) в каждой точке совпадает с направлением. Направление силовой линии (линии напряженности) в каждой точке совпадает с направлением. Отсюда следует, что напряженность равна разности потенциалов U на единицу длины силовой линии. Отсюда следует, что напряженность равна разности потенциалов U на единицу длины силовой линии. Именно вдоль силовой линии происходит максимальное изменение потенциала. Поэтому всегда можно определить Именно вдоль силовой линии происходит максимальное изменение потенциала. Поэтому всегда можно определить между двумя точками, измеряя U между ними, причем тем точнее, чем ближе точки. между двумя точками, измеряя U между ними, причем тем точнее, чем ближе точки. В однородном электрическом поле силовые линии – прямые. Поэтому здесь определить наиболее просто: В однородном электрическом поле силовые линии – прямые. Поэтому здесь определить наиболее просто: (3.6.1) (3.6.1)

Воображаемая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью. Воображаемая поверхность, все точки которой имеют одинаковый потенциал, называется эквипотенциальной поверхностью. Уравнение этой поверхности Уравнение этой поверхности (3.6.2) (3.6.2)

Линии напряженности и эквипотенциальные поверхности взаимно перпендикулярны

Формула выражает связь потенциала с напряженностью и позволяет по известным значениям φ найти напряженность поля в каждой точке. Формула выражает связь потенциала с напряженностью и позволяет по известным значениям φ найти напряженность поля в каждой точке. Можно решить и обратную задачу, т.е. по известным значениям в каждой точке поля найти разность потенциалов между двумя произвольными точками поля. Можно решить и обратную задачу, т.е. по известным значениям в каждой точке поля найти разность потенциалов между двумя произвольными точками поля.

Интеграл можно брать по любой линии, соединяющие точку 1 и точку 2, ибо работа сил поля не зависит от пути. Интеграл можно брать по любой линии, соединяющие точку 1 и точку 2, ибо работа сил поля не зависит от пути. Для обхода по замкнутому контуру получим: Для обхода по замкнутому контуру получим: т.е. пришли к известной нам теореме о циркуляции вектора напряженности: циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю. т.е. пришли к известной нам теореме о циркуляции вектора напряженности: циркуляция вектора напряженности электростатического поля вдоль любого замкнутого контура равна нулю. Поле, обладающее этим свойством, называется потенциальным.

Из обращения в нуль циркуляции вектора следует, что линии электростатического поля не могут быть замкнутыми: они начинаются на положительных зарядах (истоки) и на отрицательных зарядах заканчиваются (стоки) или уходят в бесконечность Из обращения в нуль циркуляции вектора следует, что линии электростатического поля не могут быть замкнутыми: они начинаются на положительных зарядах (истоки) и на отрицательных зарядах заканчиваются (стоки) или уходят в бесконечность

3.7. Расчет потенциалов простейших электростатических полей Рассмотрим несколько примеров вычисления разности потенциалов между точками поля, созданного некоторыми заряженными телами Рассмотрим несколько примеров вычисления разности потенциалов между точками поля, созданного некоторыми заряженными телами

Разность потенциалов между точками поля, образованного двумя бесконечными заряженными плоскостями

Мы показали, что напряженность связана с потенциалом Мы показали, что напряженность связана с потенциалом тогда тогда (3.7.1) (3.7.1) где – напряженность электростатического поля между заряженными плоскостями где – напряженность электростатического поля между заряженными плоскостями σ = q/S – поверхностная плотность заряда. σ = q/S – поверхностная плотность заряда.

Чтобы получить выражение для потенциала между плоскостями, проинтегрируем выражение Чтобы получить выражение для потенциала между плоскостями, проинтегрируем выражение При x 1 = 0 и x 2 = d (3.7.3)

На рисунке 3.5 изображена зависимость напряженности E и потенциала φ от расстояния между плоскостями. На рисунке 3.5 изображена зависимость напряженности E и потенциала φ от расстояния между плоскостями.

Разность потенциалов между точками поля, образованного бесконечно длинной цилиндрической поверхностью С помощью теоремы Остроградского- Гаусса мы показали, что С помощью теоремы Остроградского- Гаусса мы показали, что

Тогда,т.к. Тогда,т.к. отсюда следует, что разность потенциалов в произвольных точках 1 и 2 будет равна: отсюда следует, что разность потенциалов в произвольных точках 1 и 2 будет равна:

Разность потенциалов между обкладками цилиндрического конденсатора

Т.к., то Т.к., то

Таким образом, внутри меньшего цилиндра имеем, Е = 0, φ = const; Таким образом, внутри меньшего цилиндра имеем, Е = 0, φ = const; между обкладками потенциал уменьшается по логарифмическому закону, между обкладками потенциал уменьшается по логарифмическому закону, вторая обкладка (вне цилиндров) экранирует электрическое поле и φ и Е равны нулю. вторая обкладка (вне цилиндров) экранирует электрическое поле и φ и Е равны нулю.

Разность потенциалов между точками поля, образованного заряженной сферой (пустотелой) Напряженность поля сферы определяется формулой Напряженность поля сферы определяется формулой

А т.к., то А т.к., то

Отсюда имеем Отсюда имеем (3.7.8) (3.7.8)

Разность потенциалов внутри диэлектрического заряженного шара Имеем диэлектрический шар заряженный с объемной плотностью Имеем диэлектрический шар заряженный с объемной плотностью

Как мы уже вычислили в п с помощью теоремы Остроградского- Гаусса: Как мы уже вычислили в п с помощью теоремы Остроградского- Гаусса:

Отсюда найдем разность потенциалов шара: Отсюда найдем разность потенциалов шара: или или

Отсюда находим потенциал шара: Отсюда находим потенциал шара:

Из полученных соотношений можно сделать следующие выводы: Из полученных соотношений можно сделать следующие выводы: С помощью теоремы Гаусса сравнительно просто можно рассчитать Е и φ от различных заряженных поверхностей. С помощью теоремы Гаусса сравнительно просто можно рассчитать Е и φ от различных заряженных поверхностей. Напряженность поля в вакууме изменяется скачком при переходе через заряженную поверхность. Напряженность поля в вакууме изменяется скачком при переходе через заряженную поверхность. Потенциал поля – всегда непрерывная функция координат. Потенциал поля – всегда непрерывная функция координат.