Автор работы : Абрамова Елена Сергеевна, ученица 10 а класса Руководитель : Светлова Татьяна Михайловна, учитель математики I квалификационной категории Многогранники и их практическое применение

способствовать формированию и развитию эвристического мышления Задачи исследовать понятие многогранника и его историю изучить практическое применение фигуры Цель работы расширить понятие многогранника показать его применение в различных сферах деятельности

ВВЕДЕНИЕ многогранник ограниченное тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников многоугольники, которые ограничивают многогранник, называются гранями линии пересечения граней называются ребрами

Историческая справка Первые упоминания о многогранниках известны еще за три тысячи лет до нашей эры в Египте и Вавилоне (пирамида Хеопса). История правильных многогранников уходит в глубокую древность. Начиная с 7 века до нашей эры в Древней Греции создаются философские школы, в которых происходит постепенный переход от практической к философской геометрии. Отличительным знаком Пифагорейской школы была пентаграмма, на языке математики - это правильный невыпуклый или звездчатый пятиугольник.

Пифагорейцы относили существование пяти правильных многогранников к строению материи и Вселенной. Вселенная - додекаэдр Земля - куб Огонь - тетраэдр Вода - икосаэдр Воздух - октаэдр Пифагорейцы относили существование пяти правильных многогранников к строению материи и Вселенной. Вселенная - додекаэдр Земля - куб Огонь - тетраэдр Вода - икосаэдр Воздух - октаэдр Учение пифагорейцев о правильных многогранниках изложил в своих трудах древнегреческий ученый Платон. С тех пор правильные многогранники стали называться Платоновыми телами - правильными однородными выпуклыми многогранниками.

теория многогранников является современным разделом математики связана с топологией, теорией графов важна для теоретических исследований по геометрии практическое приложение в алгебре, теории чисел, прикладной математики - линейном программировании, теории оптимального управления данная тема является актуальной, а знания по данной проблематике – важными для современного общества

Многогранник - ограниченное тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников Многогранник – это фигура, являющаяся объединением конечного числа тетраэдров, для которых выполнены следующие условия: каждые два тетраэдра не имеют общих точек, либо имеют общую вершину, либо только общее ребро, либо целую общую грань от каждого тетраэдра к другому можно перейти по цепочке тетраэдра, в которой каждый последующий прилегает к предыдущему по целой грани

выпуклый многогранник считается правильным, если все его грани – равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходиться одно и то же число ребер Теорема Коши два замкнутых выпуклых многогранника, одинаково составленные из соответственно равных граней равны Теорема Эйлера для любого выпуклого многогранника В-Р+Г=2 где В – число его вершин, Р - число его ребер, Г - число его граней свойства ВЫПУКЛЫЙ МНОГОГРАННИК многогранник, любые две точки которого соединимы в нем отрезком Классификация многогранников

ПРАВИЛЬНЫЙ МНОГОГРАННИК Многогранник называется правильным, если он выпуклый, все его грани - равные друг другу правильные многоугольники, в каждой его вершине сходятся одинаковое число граней и все его двугранные углы равны Типы правильных многогранников Рисунок Описание Правильный тетраэдр Составлен из 4 равносторонних треугольников. Каждая его вершина является вершиной трех треугольник. Сумма плоских углов при каждой вершине равна Куб Куб составлен из 6 квадратов. Каждая вершина куба является вершиной трех квадратов. Сумма плоских углов при каждой вершине равна Октаэдр Составлен из 8 равносторонних треугольников. Каждая вершина октаэдра является вершиной четырех треугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна Икосаэдр Составлен из 20 равносторонних треугольников. Каждая вершина икосаэдра является вершиной пяти треугольников. Сумма плоских углов при каждой вершине равна Додекаэдр Составлен из 12 правильных пятиугольников. Каждая вершина додекаэдра является вершиной трех правильных пятиугольников. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине равна 324 0

Куб и октаэдр двойственны друг другу. Ребра октаэдра можно получить, соединяя центры соседних граней куба, если же соединить центры соседних граней правильного октаэдра, то получим ребра куба. Додекаэдр и икосаэдр тоже двойственны друг другу - соединив отрезками центры соседних граней икосаэдра, мы получим додекаэдр, и наоборот. Правильный тетраэдр двойственен сам себе. При этом не существует правильного многогранника, гранями которого являются правильные шестиугольники, семиугольники и вообще n- угольники при n 6.

Равноугольно-полуправильные многогранники Это многогранники, у которых все многогранные углы равны, а грани - правильные, но разноименные правильные многоугольники. Многогранники такого типа открыл Архимед. Им подробно описаны 13 многогранников, которые позже были названы телами Архимеда. Полуправильные многогранники или Архимедовы тела выпуклые многогранники, обладающие двумя свойствами: Все грани являются правильными многоугольниками двух или более типов (если все грани правильные многоугольники одного типа, это правильный многогранник). Для любой пары вершин существует симметрия многогранника (то есть движение переводящее многогранник в себя) переводящая одну вершину в другую. В частности все многогранные углы при вершинах конгруэнтны.

Правильные звездчатые многогранники Их всего четыре, они называются также телами Кеплера-Пуансо. Кеплер открыл малый додекаэдр, названный им колючим или ежом, и большой додекаэдр. Пуансо открыл два других правильных звездчатых многогранника, двойственных соответственно первым двум: большой звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр. Их всего четыре, они называются также телами Кеплера-Пуансо. Кеплер открыл малый додекаэдр, названный им колючим или ежом, и большой додекаэдр. Пуансо открыл два других правильных звездчатых многогранника, двойственных соответственно первым двум: большой звездчатый додекаэдр и большой икосаэдр.

Практическое применение многогранников Правильные многогранники – самые выгодные фигуры, поэтому они широко распространены в природе. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Например, кристаллы поваренной соли имеют форму куба. Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Снежинки - это тоже звездчатые многогранники. Правильные многогранники встречаются так же и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр. Также мы можем наблюдать многогранники в виде цветов. Ярким примером могут служить кактусы. Правильные многогранники – самые выгодные фигуры, поэтому они широко распространены в природе. Подтверждением тому служит форма некоторых кристаллов. Например, кристаллы поваренной соли имеют форму куба. Звездчатые многогранники очень декоративны, что позволяет широко применять их в ювелирной промышленности при изготовлении всевозможных украшений. Снежинки - это тоже звездчатые многогранники. Правильные многогранники встречаются так же и в живой природе. Например, скелет одноклеточного организма феодарии (Circjgjnia icosahtdra) по форме напоминает икосаэдр. Также мы можем наблюдать многогранники в виде цветов. Ярким примером могут служить кактусы.

Многогранники в искусстве и архитектуре Великая пирамида в Гизе является одним из 7 чудес древности и ярким примером многогранника. Кроме того, это единственное из чудес, сохранившееся до наших дней. В III веке до н.э. был построен Александрийский маяк. Маяк состоял из трех мраморных башен, стоявших на основании из массивных каменных блоков. Первая башня была прямоугольной, в ней находились комнаты, в которых жили рабочие и солдаты. Над этой башней располагалась меньшая, восьмиугольная башня со спиральным пандусом, ведущим в верхнюю башню. Верхняя башня формой напоминала цилиндр, в котором горел огонь, помогавший кораблям благополучно достигнуть бухты. Великая пирамида в Гизе является одним из 7 чудес древности и ярким примером многогранника. Кроме того, это единственное из чудес, сохранившееся до наших дней. В III веке до н.э. был построен Александрийский маяк. Маяк состоял из трех мраморных башен, стоявших на основании из массивных каменных блоков. Первая башня была прямоугольной, в ней находились комнаты, в которых жили рабочие и солдаты. Над этой башней располагалась меньшая, восьмиугольная башня со спиральным пандусом, ведущим в верхнюю башню. Верхняя башня формой напоминала цилиндр, в котором горел огонь, помогавший кораблям благополучно достигнуть бухты.

В эпоху Возрождения большой интерес к формам правильных многогранников проявили скульпторы, архитекторы, художники. Леонардо да Винчи увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Он проиллюстрировал правильными и полуправильными многогранниками книгу Монаха Луки Пачоли «О божественной пропорции». Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией, Альбрехт Дюрер, в известной гравюре «Меланхолия» на переднем плане изобразил додекаэдр. Правильные геометрические тела - многогранники - имели особое очарование для голландского художника Морица Корнилиса Эшера. В его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов. На гравюре «Четыре тела» Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные. Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в работе «Порядок и хаос». В данном случае звездчатый многогранник помещен внутрь стеклянной сферы. На гравюре «Звезды» можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров. Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней. Но он поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить восприятие всей фигуры. Таким образом необходимо отвлечься от привычного восприятия картины и попытаться взглянуть на нее свежим взором, чтобы представить ее целиком. Этот аспект данной картины является еще одним предметом восхищения математиков творчеством Эшера. В эпоху Возрождения большой интерес к формам правильных многогранников проявили скульпторы, архитекторы, художники. Леонардо да Винчи увлекался теорией многогранников и часто изображал их на своих полотнах. Он проиллюстрировал правильными и полуправильными многогранниками книгу Монаха Луки Пачоли «О божественной пропорции». Знаменитый художник, увлекавшийся геометрией, Альбрехт Дюрер, в известной гравюре «Меланхолия» на переднем плане изобразил додекаэдр. Правильные геометрические тела - многогранники - имели особое очарование для голландского художника Морица Корнилиса Эшера. В его многих работах многогранники являются главной фигурой и в еще большем количестве работ они встречаются в качестве вспомогательных элементов. На гравюре «Четыре тела» Эшер изобразил пересечение основных правильных многогранников, расположенных на одной оси симметрии, кроме этого многогранники выглядят полупрозрачными, и сквозь любой из них можно увидеть остальные. Изящный пример звездчатого додекаэдра можно найти в работе «Порядок и хаос». В данном случае звездчатый многогранник помещен внутрь стеклянной сферы. На гравюре «Звезды» можно увидеть тела, полученные объединением тетраэдров, кубов и октаэдров. Если бы Эшер изобразил в данной работе лишь различные варианты многогранников, мы никогда бы не узнали о ней. Но он поместил внутрь центральной фигуры хамелеонов, чтобы затруднить восприятие всей фигуры. Таким образом необходимо отвлечься от привычного восприятия картины и попытаться взглянуть на нее свежим взором, чтобы представить ее целиком. Этот аспект данной картины является еще одним предметом восхищения математиков творчеством Эшера.

СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ !!!