1. повторить понятия: логарифм; свойства логарифмов; основное логарифми- ческое тождество; формулу перехода к новому основанию; 2. дать определение логарифмического уравнения; 3. рассмотреть основные аналитические способы решения логарифмических уравнений и закрепить практически; 4. провести самостоятельную работу с целью проверки навыков усвоения нового материала; Задачи: развитие логического мышления, памяти, совершенствование навыков самостоятельной работы, развитие речи.

Ход урока. 1 Введение. Французский писатель Анатоль Франс ( ) заметил: «Что учиться можно только весело. Чтобы переварить знания надо поглощать их с аппетитом. «Последуем совету писателя: «будем на уроке активны и внимательны, будем поглощать знания с большим желанием», ведь они скоро вам понадобятся. Перед нами стоит задача: рассмотреть способы и особенности решения логарифмических уравнений.

2 Устный опрос. 1. Дать определение логарифма? Логарифмом числа В по основанию а называется показатель степени t, в которую надо возвести а, чтобы получить В. loq a В = t, а t = В. В > 0, а не равно 1, а > Свойства логарифмов: 1. loq a 1 = 0; 2. loq a a = 1; 3. loq a ( x* y ) = loq a x + loq a у; 4. loq a ( х / у ) = loq a х - loq a у; у не равен loq a в к = к loq a в; 6. loq a к в = 1 / к loq a в; 3. Основное логарифмическое тождество: а loq a В = В; 4. Формула перехода к новому основанию: loq a В = loq с В loq с а.

3. Решить уравнения: 7 х * 7 х = 5; х х + 16 = 0; 2 х = 5 Данное уравнение решается логарифмированием. Прологарифмируем по основанию 2. Получаем x loq 2 2 = loq 2 5; отсюда х = loq 2 5. Определение: Уравнение называется логарифмическим, если в нем неизвестное содержится под знаком логарифма или в основании логарифма. К простейшим логарифмическим уравнениям относятся уравнения, которые можно преобразовать следующими 3 способами: 1. используя определение логарифма: log а х = в, х > 0, х = а в. Пример: log 5 х = 2; х > О, х = 5 2. Ответ: х = 25.

4. Решить уравнения: 1. loq 0.25 ( 3 х – 5 ) = - 3 ; 2. loq 3 ( x 2 – 2 х ) = 1; 3. loq 2 ( х + 14) + loq 2 ( х + 2 ) = 6; х + 14 > 0; x + 2 > 0; loq 2 ( x + 14) + loq 2 ( x + 2 ) = 6. х > - 14; x > - 2; loq 2 ( x + 14 ) ( x + 2 ) = 6. x > - 2; ( x + 14 ) ( x + 2 ) = 2 6. x x – 36 = 0. x 1 = - 18 ( не принццц.обл.опр.); х 2 = 2. Ответ: х = 2

4. loq х 16 - loq х 2 = 1 / 2. x > 0 x = 1 loq x 8 = 1 / 2. х 1 / 2 = 8; х = 64. Ответ: х = Потенцирование: Так называется преобразование, заключающееся в в переходе от уравнения: loq q (x) f 1 ( x ) = loq q(x) f 2 ( x ) к уравнению: f 1 ( x ) = f 2 ( x ). 1. Решить уравнения: 1. loq 5 ( 6 – х 2 ) = loq 5 х. 6 – х 2 > 0; Д (у) = ( 0; 6 1 / 2 ); x > 0; х 2 + х – 6 = 0. 6 – х 2 = х. х 1 = - 3 ( не принццц.обл.опр.) х 2 = 2. Ответ: х = 2.

2. приводим к одинаковому основанию обе части уравнения. Затем потенцируем. Пример: log а x = 2 log а 3 + log а 5 х > 0; log а x = log а log а 5 log а x = log а 45 x = 45 Ответ: х = 45. Решить уравнения: 1. lоq lоq 2 ( 2 – 3 х ) = 2 - lоq 2 ( 4 – 3 х ). 2 – 3 х > 0 х < 4 / 3; 4 – 3 x > 0 x = - 4 / 3. lоq 2 3 = lоq x 4 – 3 x Ответ: х = - 4 / 3.

2. Решить уравнения: 1. lq ( 4 x + 5 ) – lq ( 5 x + 2) = 0; 2. 2 lq ( x – 1 ) = lq ( 1,5 x + 1 ). x – 1 > 0, 1,5 x + 1 > 0, ( x – 1 ) 2 = 1,5 x + 1. x > 1, x > - 2 / 3, x 2 – 2 x + 1 – 1,5 x – 1 =0. х > 1, x 2 - 3,5 x = 0. x 1 = 0 ( не принццц.обл.опр.) х 2 = 3,5. Ответ: х = 3,5.

3. Логарифмирование обеих частей уравнения: х lq x = 100 x. Логарифмируем обе части уравнения по основанию 10 и затем решаем полученное квадратное уравнение. lq x lq x = lq lq x. x > 0, x = 1, lq 2 x – lq x – 2 = 0. lq x = t, t 2 - t - 2 = 0. t 1 = 2 t 2 = - 1 lq x = 2 lq x = - 1 x = 100 x = 0,1 Ответ: х = 100; х = 0, 1. Решить уравнения: 1. х loq 5 x = 625; 2. lq 2 x + lq x – 2 = 0; 3. х loq x 1/ 2 ( х – 3 ) = 4;

Самостоятельная работа Среди данных выражений выбрать логарифмические уравнения и решить их: 1. loq loq 3 3; 2. loq 4 ( 7 – x ) = 3; 3. 2 х = 64; 4. 2 lq 0,5 x - lq x = lq 5; 5. loq 2 3 x + loq 3 x 2 = х + 56 = loq 2 x + loq 2 x 3. Ответы. А. 57; Б. 64; В. – 57; Г. 7; А. 0,25; Б. 0,05; В. 2; Г. 20; А - 4; 2 ; Б. 1 / 81; 9; В. 1 / 9; 81 Г. 9; 81.

Олимпиадное задание: Решить уравнение: ( 2 / 7 ) loq 3 x 2 * 49 loq 3 x = 64. Ответ: х = 27. Задание из ЕГЭ. Решить уравнение: x 1 / loq 3 x + 10 lq x = 10. Ответ: х = 7. Домашнее задание: Башмаков М.И. 55 (1 – 7 ) 58 ( 1 ).