Лекция 7 Пересечение поверхностей. Способ вспомогательных секущих плоскостей. Пересечение поверхностей. Способ вспомогательных секущих плоскостей.

Пересечение поверхностей Для построения линии пересечения поверхностей необходимо найти ряд точек, общих для заданных поверхностей, и соединить их плавной линией Геометрическое место точек, принадлежащее одновременно двум поверхностям, называют линией пересечения данных поверхностей а) б)в) г) Возможные случаи: Две замкнутые линии (пересечение насквозь) Одна замкнутая линия (врезание одной в другую) Кривая и гранная поверхности (совокупность плоских кривых) Две многогранные поверхности (ломаная линия)

Анализ заданных поверхностей 1. Линия пересечения 2-х поверхностей в общем случае представляет собой пространственную кривую 2. Если заданы поверхности второго порядка, то при их пересечении получается пространственная кривая четвертого порядка 3. Часть искомой линии пересечения получается видимой в пересечении видимых частей поверхностей

Анализ заданных поверхностей 4. Если одна из заданных поверхностей является проецирующей (цилиндр, призма),то одна из проекций искомой линии пересечения совпадает со следом этой поверхности

Анализ заданных поверхностей 5. Если у заданных поверхностей 2 порядка есть общая плоскость симметрии, которая проходит через их оси вращения, то: Линия пересечения будет симметрична относительно плоскости Линия пересечения будет симметрична относительно плоскости Наивысшая 1 и низшая 2 точки линии пересечения всегда располагаются в плоскости Наивысшая 1 и низшая 2 точки линии пересечения всегда располагаются в плоскости Если плоскость параллельна плоскости проекций, то на ней линия пересечения будет кривой второго порядка, ее видимая и невидимая части накладываются Если плоскость параллельна плоскости проекций, то на ней линия пересечения будет кривой второго порядка, ее видимая и невидимая части накладываются

a b Алгоритм решения задачи Г 1. Поверхности рассекают вспомогательной секущей плоскостью Г 2. Находят линию пересечения вспомогательной плоскости с каждой из поверхностей 3. На полученных линиях пересечения определяют общие точки, принадлежащие заданным поверхностям 4. Выбирают следующую секущую плоскость и повторяют алгоритм 5. Полученные точки соединяют с учетом видимости искомой линии пересечения А B Г b Г а ; a b A,B

Методические указания Вспомогательные плоскости следует выбирать так, чтобы в сечении получались простые линии Сначала определяют опорные точки: экстремальные точки; точки перемены видимости, лежащие на очерках поверхностей; особые точки кривых пересечения (концы осей эллипса, вершины гиперболы или параболы, вершины ломанной) Уточняют линию пересечения с помощью промежуточных точек

Пересекающиеся поверхности (сфера и конус) имеют общую плоскость симметрии Ф(Ф 1 ), являющейся фронтальной плоскостью уровня. Следовательно, фронтальные очерки поверхностей, лежащие в плоскости Ф, пересекаются.4. ПО Ф1Ф1

На П 2 находим проекции высшей (1 2 ) и низшей (2 2 ) точек искомой линии, как точек пересечения фронтальных очерков поверхностей. Горизонтальные проекции точек (1 1 и 2 1 ) будут располагаться на следе плоскости Ф 1.4. ПО Ф1Ф1 (21)(21)

Точки изменения видимости линии на П 1, лежащие на экваторе сферы, находим с помощью плоскости Г(Г 2 ). На П 1 это будут точки пересечения экватора сферы с соответствующей параллелью конуса и 4 1. На П 2 проекции точек (3 2 и 4 2 ) располагаем на следе плоскости (Г 2 ).4. ПО Ф1Ф1 (21)(21) 1 Г2Г2 (42)(42)

Промежуточные точки, уточняющие форму линии пересечения, находим с помощью вспомогательных горизонтальных плоскостей уровня Г и Г На П 1 это будут точки пересечения соответствующих параллелей сферы и конуса. Точки можно оставить без обозначения.4. ПО Ф1Ф1 (21)(21) 1 Г2Г (42)(42)3232 Г2Г2 Г2Г2

Найденные на горизонтальной плоскости проекций проекции промежуточных точек (они не обозначены на чертеже) переносим на фронтальные следы (Г 2 и Г 2 ) плоскостей, с помощью которых промежуточные точки построены.4. ПО Ф1Ф1 (21)(21) 1 Г2Г (42)(42)3232 Г2Г2 Г2Г2

При объединении в линию всех построенных проекций точек на П 2 следует учитывать, что вся линия пересечения разделяется плоскостью Ф на две симметричные ветви, которые совпадут на фронтальной плоскости проекций.4. ПО Ф1Ф1 (21)(21) 1 Г2Г (42)(42)3232 Г2Г2 Г2Г2

При соединении проекций точек на горизонтальной плоскости проекций выявляют видимый и невидимый участки линии пересечения. Эти участки разделяются проекциями точек перемены видимости и 4 1, лежащими на экваторе сферы.4. ПО Ф1Ф1 (21)(21) 1 Г2Г (42)(42)3232 Г2Г2 Г2Г2

На этапе обводки очерков поверхностей следует обвести толстой сплошной линией только очерки, не участвующие в пересечении 4. ПО Ф1Ф1 (21)(21) 1 Г2Г (42)(42)3232 Г2Г2 Г2Г2

Видимая часть поверхности сферы, ограниченная линией пересечения, затушевана, что повышает наглядность изображения.4. ПО Ф1Ф1 (21)(21) 1 Г2Г (42)(42)3232 Г2Г2 Г2Г2

Заканчиваем оформление изображения, затушевав видимую часть поверхности конуса.4. ПО Ф1Ф1 (21)(21) 1 Г2Г (42)(42)3232 Г2Г2 Г2Г2

Заданы две пересекающиеся поверхности (полусфера и призма, находящаяся в горизонтально проецирующем положении). Все три грани приз- мы участвуют в пересечении. Значит, линия пересечения состоит из трех участков, представляющих собой плоские кривые второго порядка.5.ПО

Фиксируем на П 1 проекции точек пересечения ребер призмы с поверхностью сферы (1 1, 2 1 и 3 1). На П 2 проекции 1 2 и 2 2 находим на экваторе сферы, а на параллели, полученной с помощью плоскости Ф(Ф 1 ). Часть параллели между 3 2 и 4 2 будет первым участком искомой линии.5. ПО Ф1Ф1 (12)(12)2 (32)(32)

На П 1 проекции 4 1 и 5 1 фиксируем как точки пересечения меридиана сферы, лежащего в плоскости Ф (Ф 1 ), с гранями призмы. Фронтальные проекций указанных точек (4 2 и 5 2 ) располагаем на меридиане сферы. Это будут точки, меняющие видимость линии пересечения на П (12)(12) (32)(32) ПО Ф1Ф1 Ф1Ф

Грани призмы рассекают сферу по окружностям, две из которых проецируются на П 2 в эллипсы. Вершины этих эллипсов (высшие точки линии пересечения) находим на П 1, обозначив их как 6 1 и 7 1. Проекции 6 2 и 7 2 находим с помощью плоскостей Ф (Ф 1 ) и Ф (Ф 1 ) соответственно Ф1Ф1 (12)(12) (32)(32) Ф1Ф Ф1Ф ПО Ф1Ф

2 Промежуточные точки линии пересечения, уточняющие форму эллипсов и выбранные произвольно на горизонтальном очерке призмы, строим на П 2 с помощью секущей плоскости Ф IV (Ф 1 IV ) по аналогии с другими точками. Промежуточные точки не обозначены Ф1Ф Ф1Ф (32)(32)5. ПО Ф1Ф1 Ф1Ф1 IV Ф1Ф1 1 (12)(12)

На П 2 объединяем все построенные точки в участки - эллипсы линии пересечения, а на П 1 вся линия совпадает с очерком проецирующей приз- мы. При обводке эллипсов на П 2 следует учитывать, что проекции точек (4 2 и 5 2 ), лежащих на меридиане сферы, изменяют видимость эллипсов Ф1Ф1 Ф1Ф Ф1Ф (32)(32)5. ПО Ф1Ф1 Ф1Ф1 IV (12)(12)

На П 2 обводим фронтальные очерки сферы и призмы, выявляя их видимые и невидимые участки Ф1Ф1 Ф1Ф Ф1Ф1 IV 5151 Ф1Ф (32)(32)5. ПО Ф1Ф (12)(12)

Тушевка повышает наглядность изображения. На П 2 видимая часть поверхности сферы ограничивается линией пересечения и видимой частью очерка сферы Ф1Ф1 Ф1Ф Ф1Ф1 IV 5151 Ф1Ф (32)(32)5. ПО Ф1Ф (12)(12)

На П 2 заканчиваем оформление изображения, затушевав видимую часть поверхности призмы Ф1Ф1 Ф1Ф Ф1Ф1 IV 5151 Ф1Ф (32)(32)5. ПО Ф1Ф (12)(12)