Бессонова Светлана Александровна учитель математики Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа 603 Фрунзенского района Санкт-Петербурга

Применение подобия к доказательству теорем и решению задач Средняя линия треугольника Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Средняя линия треугольника Средней линией треугольника называется отрезок, соединяющий середины двух его сторон. Теорема: средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны.

Средняя линия треугольника Доказательство теоремы о средней линии треугольника Пусть MN – средняя линия ABC. Докажем, что MN ll AC и MN=1/2 AC. BMN и BAC подобны по второму признаку подобия треугольников (В – общий, BM/BA=BN/BC=1/2), поэтому 1=2 и MN/AC= 1/2 1=2 (т.к. 1 и 2 – соответственные углы при прямых MN ll AC и секущей АВ) MN ll AC MN/AC=1/2 MN=1/2 AC. Теорема доказана.

Средняя линия треугольника Задача 1 Доказать, что медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Решение Рассмотрим произвольный АВС. Обозначим буквой О точку пересечения его медиан АА 1 и ВВ 1 и проведём среднюю линию А 1 В 1 этого треугольника. Отрезок А 1 В 1 llАВ, поэтому углы 1 и 2, а также углы 3 и 4 равны как накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых АВ и А 1 В 1 секущими АА 1 и ВВ 1. Следовательно, АОВ иА 1 ОВ 1 подобны по двум углам, и, значит, их стороны пропорциональны: АО/А 1 О=ВО/В 1 О=АВ/А 1 В 1. Но АВ=2А 1 В 1, поэтому АО=2А 1 О и ВО=2В 1 О. Таким образом, точка О пересечения медиан АА 1 и ВВ 1 делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины. Аналогично доказывается, что точка пересечения медиан ВВ 1 и СС 1 делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины, и, следовательно, совпадает с точкой О. Итак, все три медианы АВС пересекаются в точке О и делятся ею в отношении 2:1, считая от вершины. ч.т.д.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике Задача 2 Доказать, что высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, разделяет треугольник на два подобных прямоугольных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику. Решение Пусть АВС – прямоугольный треугольник с прямым углом С, СD – высота, проведённая из вершины С к гипотенузе АВ. Докажем, что: АВС и АСD, АВС и СВD, ACD и CBD - подобны. АВС и АСD подобны по первому признаку подобия треугольников (А – общий, АСВ = ACD = 90). Точно так же подобны АВС и CBD (В – общий иАСВ =BDC=90), поэтому А = ВСD. Наконец, АСD и CBD также подобны по первому признаку подобия (в этих треугольниках углы с вершиной D прямые и А = BCD), ч.т.д. АВD С

Об авторе… Вер… М… Ученица 8 А класса Школы 603 При создании данной презентации использовался учебник Геометрии. Авторы: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев, Э.Г. Позняк, И.И. Юдина.