Задачи на оптимизацию с использованием производной 1

Задача 1 Каким образом можно изготовить цилиндрический бак без крышки с наибольшего объёма, если на его изготовление нужно потратить 48π дм 2 листового металла. Найдите геометрические размеры бака и его объём. 2

Решение Пусть бак имеет радиус основания R, высоту h. Площадь основания S1=πR 2, площадь боковой поверхности S2=2πRh. Тогда полная площадь поверхности S= πR 2 + 2πRh πR 2 + 2πRh=48π R 2 + 2Rh=48 Объём бака V= πR 2 h(*) R h 3

Составляем целевую функцию. Выражаем величину h * через площадь. Подставляем в формулу для объёма и получаем целевую функцию, выражающую объём через R * Почему выражаем именно h? Выражать можно любую величину, в данном случае либо h, либо R, но из нашего уравнения ограничений R 2 + 2Rh=48 h выражать проще 4

Берём производную V(R)=0 5

Анализ 1 способ Анализируем знак производной R 4 V(R) + - max 6

Анализ 2 способ Функция непрерывна R На интервале (0; 43) функция положительна, а на концах интервала принимает значения 0. На этом интервале найдена лишь одна точка, подозрительная на экстремум, следовательно она может быть только максимумом. 7

Анализ 3 способ Производная принимает значение 0 при R=4 Вторая производная Производная При R=4 V(4) отрицательна, следовательно, R=4 достигается максимум. 8

Находим необходимые значения R =4 (дм) – Уже найдено 9

Д/З Каким образом можно изготовить цилиндрический бак с крышкой, повторяющей основание бака, наибольшего объёма, если на его изготовление нужно потратить 150π дм 2 листового металла. Найдите геометрические размеры бака и его объём. 10