При записи чисел в позиционной системе счисления, оно обозначается с помощью ряда цифр. «Вклад» каждой цифры в число определяется местом, где она находиться, и равен значению цифры, умноженному на основание системы счисления в степени, равной номеру цифры (нумерация ведется справа и начинается с нуля).

a n a n-1 a n-2 …a 1 a 0 – запись числа А a i – цифры, p – основание системы счисления, тогда A=a n *p n +a n- 1 *p n-1 +a n-2 *p n-2 +…+a 1* p 1 +a 0 *p 0. Так в числе цифра 1 обозначает одну тысячу (третья степень), 9 – девять сотен (вторая степень), 8 – восемь десятков (первая степень) и 7 – семь единиц (нулевая степень). Т. е =1* * * *10 0 = Аналогично число 10102=1*2 3 +0*2 2 +1*2 1 +0*2 0

В системе счисления с некоторым основанием число 12 записывается в виде 110. Укажите это основание. Обозначим искомое основание n. Исходя из правил записи чисел в позиционных системах счисления 110 n =n 2 +n Составим уравнение: n 2 +n 1 =12 и найдем натуральный корень n=3, n=- 4. n=-4 не подходит, так как основание системы счисления, по определению натуральное число большее единицы. Полученный ответ проверим подстановкой: 9+3+0=12.

Пример Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 17 оканчивается на 2. Последняя цифра в записи числа представляет собой остаток от деления числа на основание системы счисления. 17-2=15. Найдем делители числа 15, это числа 3, 5, 15. Проверим свой ответ тем, что запишем число 17 в указанных системах счисления =122 3 =32 5 =12 15.

n n2n Перевести число из двоичной системы в десятичную. Пронумеруем цифры числа справа налево, подпишем соответствующие степени двойки и просуммируем их: Показатель степени Само число Степень = =170 10

Для перевода из десятичной в двоичную систему надо разложить данное число на степени двойки методом вычитания старшей степени. 170=128+42=1*128+0*64+1*32+10=1*128+0*64 +1*32+0*16+1*8+2=1*128+0*64+1*32+0*16+1*8 +0*4+1*2+0*1. Выписав двоичные цифры, получаем равенство =

Как представляется число в двоичной системе счисления? 1) ) ) ) Разложим 25 на степени двойки, начиная со старшей (16): 25=1*16+1*8+0*4+0*2+1*1= Другой способ решения – методом подстановки ответов – можно применить, если вы забыли алгоритм перевода из десятичной в двоичную систему, но помните обратный: 1) = =9 10 2) = = ) = = ) = =26 10

Сложение двоичных чисел происходит по классическому алгоритму «столбиком» с переносом двойки в следующий разряд» =? 2 Оформим результат в виде таблицы Перенос в старший разряд Первое слагаемое Второе слагаемое Сумма Результат сложения выглядит так

10-чная 2-чная 8-чная 16-чная A B C D E F Двоичная система, являющаяся основой всей компьютерной арифметики, весьма громоздка и неудобна для использования человеком. Поэтому программисты пользуются двумя кратными двоичной системами счисления: Восьмеричной и шестнадцатеричной.

Разбить двоичное число на тройки цифр (отсчитывая справа) и записать вместо каждой из троек восьмеричную цифру: – – – Крайняя левая тройка может быть неполной, это не мешает реализовать алгоритм. Для получения полных троек можно приписать слева недостающие незначащие нули: 010=10. Убедимся в правильности алгоритма: = = ; =2*64+5*8+5*1= = Для перевода чисел из восьмеричной системы в двоичную используется обратный алгоритм: восьмеричную цифру заменяют на тройки двоичных цифр – – – В десятичной системе это число будет записано как 213.

Строку двоичных цифр разбить на четверки и вместо них записать шестнадцатеричные цифры: – – A D – AD 16. Проверим правильность вычислений: 10*16+13=173. Аналогично работает и обратный алгоритм: вместо шестнадцатеричных цифр подставляются четверки двоичных цифр. 231=208+5=13*6+5. Увидим, что результат выполнения алгоритма тот же: D5 16 – D 5 – – Очень важно не забывать дописывать недостающие нули слева при переводе каждой цифры, чтобы получалась полноценная четверка или тройка двоичных цифр!

При выполнении заданий важно выбрать одну систему счисления. Лучше всего пользоваться той системой, в которой должен быть представлен результат. Если среди данных чисел десятичных нет, то десятичную систему лучше не использовать. Из восьмеричной системы в шестнадцатеричную (и в обратном направлении) гораздо проще переводить через двоичную систему. D5 16 – D 5 – – –

Вычислите значение суммы в десятичной системе счисления: =? 10. 1) ) ) )20 10 Переведем все числа в десятичную запись: =(1*2+0)+(1*8+0)+(1*16+0)=2+8+16=26 10

Вычислите сумму чисел x и y, если х= ; y= Результат представить в виде восьмеричного числа. 1) ) ) )318 8 I способ: Сложить числа по правилам сложения двоичных чисел, а результат перевести в восьмеричную запись, разбив на триады: = – – – II способ: Сначала перевести числа в восьмеричную систему, а потом сложить их: – – – – – – Теперь столбиком сложить восьмеричные числа

Количество значащих нулей в записи числа 129 равно: 1) 52) 63) 74) 4

Как представляется число в двоичной системе счисления? 1) ) ) )

Как представляется число в двоичной системе счисления? 1) ) ) )

Вычислите значение суммы в десятичной системе счисления: =? 10 1) ) ) ) 20 10

Вычислите сумму чисел х и у, если х= ; у= Результат представьте в виде восьмеричного числа. 1) ) ) )318 8

Вычислите сумму двоичных чисел х и у, если х= ; у= ) ) ) )

Вычислить сумму чисел х и у, при х=В4 16, у=46 8. Результат представьте в двоичной системе счисления. 1) ) ) )

Вычислите сумму чисел х и у, при х=1D 16, у=72 8. Результат представьте в двоичной системе счисления. 1) ) ) )

В системе счисления с некоторым основание число 12 записывается в виде 110. Укажите это основание.

В системе счисления с некоторым основанием число 17 записывается в виде 101. Укажите это основание.

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 17 оканчивается на 2.

Укажите через запятую в порядке возрастания все числа, не превосходящие 25, запись которых в двоичной системе счисления оканчивается нп 101. Числа в ответе указывать в десятичной системе счисления.

Укажите через запятую в порядке возрастания все основания систем счисления, в которых запись числа 23 оканчивается на 2.