Лекция 11 Электромагнитная индукция. Энергия магнитного поля 27/11/2014 Алексей Викторович Гуденко

План лекции 1. Закон электромагнитной индукции Фарадея. Правило Ленца. 2. Бетатрон 3. Соленоид. Магнитная энергия и её локализация в пространстве 4. Энергия и силы

Демонстрации Магнитное торможение Магнитная пушка Закон э-м индукции Фарадея

Закон электромагнитной индукции Фарадея. Правило Ленца. В замкнутом проводящем контуре при изменении магнитного потока вектора B, охватываемого этим контуром, возникает электрический ток. Этот ток называется индукционным током. Причина возникновения тока – эдс индукции ε инд Величина эдс индукции ε инд равна скорости изменения магнитного потока через контур: ε инд = - 1/с dФ/dt Правило Ленца: индукционный ток направлен так, чтобы противодействовать причине его вызвавшей - индукционный ток создаёт поток, препятствующий изменению магнитного потока через виток.

Подвижная перемычка E = -1/c[vB] ε инд = Ed = - (v/c)B = - (1/c) B dS/dt = - - (1/c) dФ/dt

Природа электромагнитной индукции Контур движется в постоянном магнитном поле. Индукционный ток возникает под действием магнитной составляющей силы Лоренца: E = F m /q = 1/c [v B] Контур покоится в переменном магнитном поле. Индукционный ток возбуждается возникающим в проводнике электрическим полем.

Вихревое электрическое поле Закон электромагнитной индукции состоит в том, что всякое переменное магнитное поле порождает в пространстве вихревое электрическое поле. Циркуляция вектора E по любому неподвижному замкнутому контуру пропорциональна скорости изменения магнитного потока через этот контур:Ed = - (1/c) (Ф/t) Дифференциальная форма закона электромагнитной индукции: rotE = - (1/c)B/t – скорость изменения поля B в данной точке определяет ротор поля E в той же точке Индуцированное электрическое поле – поле вихревое (соленоидальное)

Закон сохранения магнитного потока В проводнике с нулевым сопротивлением сохраняется: ε инд = - 1/с dФ/dt = IR = 0 Ф = Ф e + Ф i = const – силовые линии «вморожены» в проводящий контур: При движении идеально проводящего замкнутого провода в магнитном поле остаётся постоянным магнитный поток, пронизывающий контур провода.

Бетатрон (Овчинкин, 8.30) Бетатрон – индукционный ускоритель электронов Бетатронное условие: магнитное поле В 0 на орбите равно половине среднего поля в зазоре: B 0 = ½ B ср На орбите: pw = q(v/c)B 0 p = qrB 0 /c Электрон разгоняется до импульса: dp = qEdt = q/2πr (E2πr)dt = q/2πcr (dФ/dt) dt = q/2πcr dФ p = qФ/2πcr = qrB ср /2c B 0 = ½ B ср Оценка энергии электрона: В ср ~ 2 Тл, r = 100 см рис = qrB ср /2 = 4, = 4, эрг = 4, Дж = 4, /1, эВ = 300 МэВ >> E 0 = 0,5 МэВ β 1 – ½ (Е 0 /E) 2 1 – ½ (Е 0 /pc) 2 = (!!!)

Работа сил Ампера при перемещении витка с током в магнитном поле F = (I/c) B – сила Ампера dA = Fdx = (I/c) Bdx = (I/c)BdS = (I/c)dФ

Индуктивность Ф = 1/c LI L – индуктивность (коэффициент самоиндукции) Соленоид: B = μH = 4πμi/c = 4πμIN/c Ф 1 = BS = (4πμNS/c) I Ф = NФ 1 = (1/c) (4πμN 2 S/) I = 1/c LI L = (4πμN 2 S/) СГС: [L] = см СИ: [L] = Гн (Генри) = 10 9 см

Энергия соленоида I(0) = I 0 ε инд = IR -1/c 2 LdI/dt = IR dI/I = - c 2 Rdt I = I 0 e -t/τ, τ = L/c 2 R ([R] = c/см) W = I 2 Rdt = LI 2 /2c 2 = IФ/2c = Ф 2 /2L W = IФ/2c = 4πi BS/8πc = (HB/8π) V w = HB/8π – плотность магнитной энергии w = μH 2 /8π = HB/8π = B 2 /8πμ

Энергия и силы. Соленоид. L = (4πμN 2 S/) W = LI 2 /2c 2 = Ф 2 /2L(,R) F = -(W/) ф = Ф 2 /2L 0 2 (L/) = - W 0 / 0 F r = -(W/r) ф = Ф 2 /2L 0 2 (L/r) = W 0 2πR/S o = W 0 2π R 0 / 0 S o = W 0 /V (2π R 0 ) = wS бок давление на боковую стенку: p = F r /S бок = w = B 2 /8π = {B = 10 Тл} = /8. 3, дин/см 2 = Па = 400 атм = 400 кГ/см 2 ~ 0,5 Tонн/см 2 (!!!)

Постоянный цилиндрический магнит Тороидальный магнит с зазором. Постоянный магнит – это ферромагнитное вещество с постоянной намагниченностью Для цилиндрического магнита – это поле соленоида с линейной плотностью i/c = P m поле в объёме B i = 4πi/c = 4πP m – остаточная индукция; поле на торце B t 1/2 B i Тороидальный магнит с зазором: поле в зазоре B B 0 = 4πP m

Магнитного поля соленоида и тороидальной катушки Поле длинного соленоида: B = 4π(i/c); i = In = IN/ - N –число витков, - длина катушки, I – ток в соленоиде; i – линейная плотность тока; n = N/ плотность намотки. I = 10 A, n = 10 см -1 B = 4π(In/c)= 1,25 Тл Поле тонкой тороидальной катушки: B = 2NI/cR