МНОГОУГОЛЬНИКИ Подготовил ученик 8 «А» кл. Кечемайкин Макар

Многоугоельник – фигура, состоящая из нескольких точек (больше двух) и соответствующего количества отрезков, которые их последовательно соединяют. Эти точки называются вершинами многоугоельника, а отрезки – сторонами. При этом никакие две смежные стороны не лежат на одной прямой и никакие две несмежные стороны не пересекаются. Правильный многоугоельник – это выпуклый многоугоельник, у которого все стороны и углы равны.

Выпуклый многоугоельник Выпуклым многоугоельником называется многоугоельник, где все его точки которого лежат по одну сторону от любой прямой, проходящей через две его соседние многоугоельник точки прямой вершины.

Многоугоельник называют выпуклым, если выполнено одно из следующих условий: – Он лежит по одну сторону от любой прямой, соединяющей его соседние вершины. (то есть продолжения сторон многоугоельника не пересекают других его сторон); – Он является пересечением (то есть общей частью) нескольких полуплоскостей; – Каждая диагональ лежит внутри многоугоельника; – Любой отрезок с концами в точках, принадлежащих многоугоельнику, целиком ему принадлежит. Если некоторые внутренние углы равны 180°, а остальные меньше, то многоугоельник называется слабовыпуклым.

Правильный многоугоельник Пра́вильный многоуго́ельник это выпуклый многоугоельник, у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны.выпуклый многоугоельник Определение правильного многоугоельника может зависеть от определения многоугоельника: если он определён как плоская замкнутая ломаная, то появляется определение правильного звёздчатого многоугоельника как невыпуклого многоуго ельника, у которого все стороны между собой равны и все углы между собой равны.многоугоельниказвёздчатого многоугоельника

Построение правильного многоугоельника с n сторонами оставалось проблемой для математиков вплоть до XIX века. Такое построение идентично разделению окружности на n равных частей, так как соединив между собой точки, делящие окружность на части, можно получить искомый многоугоельник.XIX века окружности Эвклид Эвклид в своих «Началах» занимался построением правильных многоугоельников в книге IV, решая задачу для n = 3, 4, 5, 6, 15. Кроме этого, он уже определил первый критерий построимости многоугоельников: хотя этот критерий и не был озвучен в «Началах», древнегреческие математики умели построить многоугоельник с 2 m сторонами (при целом m > 1), имея уже построенный многоугоельник с числом сторон 2 m 1 : пользуясь умением разбиения дуги на две части, из двух полуокружностей мы строим квадрат, потом правильный восьмиугоельник, правильный шестнадцати угоельник и так далее.Началахквадратправильный восьмиугоельник

Кроме этого, в той же книге Эвклид указывает и второй критерий: если известно, как строить многоугоельники с r и s сторонами, и r и s взаимно простые, то можно построить и многоугоельник с r · s сторонами. Синтезируя эти два способа, можно прийти к выводу, что древние математики умели строить правильные многоугоельники с сторонами, где m целое неотрицательное число, p 1, p 2 числа 3 и 5, а k 1, k 2 принимают значения 0 или 1.

Средневековая математика почти никак не продвинулась в этом вопросе. Лишь в 1796 году Карлу Фридриху Гауссу удалось доказать, что если число сторон правильного многоугоельника равно простому числу Ферма, то его можно построить при помощи циркуля и линейки. На сегодняшний день известны следующие простые числа Ферма: 3, 5, 17, 257, Вопрос о наличии или отсутствии других таких чисел остаётся открытым. Если брать в общем, из этого следует, что правильный многоугоельник возможно построить, если число его сторон равно, где целое неотрицательное число, принимают значения 0 или 1, а простые числа Ферма.1796 году Карлу Фридриху Гауссучислу Ферма

Гаусс подозревал, что это условие является не только достаточным, но и необходимым, но впервые это было доказано Пьером-Лораном Ванцелем в 1836 году.Пьером-Лораном Ванцелем 1836 году Точку в деле построения правильных многоугоельников поставило нахождение построений 17-, 257- и угоельника. Первое было найдено Йоханнесом Эрхингером в 1825 году, второе Фридрихом Юлиусом Ришело в 1832 году, а последнее Иоганном Густавом Гермесом в 1894 году угоельника Йоханнесом Эрхингером 1825 году Фридрихом Юлиусом Ришело 1832 году Иоганном Густавом Гермесом 1894 году С тех пор проблема считается полностью решённой

ВОПРОСЫ 1. Что такое многоугоельник? 2. Что такое правильный многоугоельник? 3. Что такое выпуклый многоугоельник? 4. Когда многоугоельник называет слабо выпуклым?

Спасибо за внимание!