Модель сильной связи. Гамильтонова матрица. Модель сильной связи без взаимодействия 1.8. Ферми-системы. Модель сильной связи

Модель сильной связи Волновая функция электрона в кристалле имеет максимумы вблизи ионного остова и близка к атомной волновой функции локализованного на соответствующей орбитали электрона. Вдали от иона волновая функция электрона асимптотически переходит в плоскую волну, соответствующую свободному движению. Такие функции называются функциями Ваннье Хорошим квантовым числом в приближении сильной связи электрона с узлом является номер узла 2

Модель сильной связи Операторы рождения и уничтожения электрона: Гамильтониан системы, выраженный через операторы рождения и уничтожения: Первое слагаемое (потенциальная энергия) описывает "затравочную" энергию электронов, локализованных на узлах; второе слагаемое (кинетическая энергия) описывает туннелирование (или перескоки) электронов на соседние узлы 3

Гамильтонова матрица для модели сильной связи Нужно сразу сформировать базис, упорядоченный по числам заполнения, в котором можно организовать эффективную процедуру поиска нужного состояния Процедура формирования базиса Случай 1: на последнем узле находятся одна или более частиц Случай 2: на последнем узле нет частиц Узлы в системе могут быть пронумерованы независимо от их пространственного расположения. Результаты расчета не зависят от того, в каком порядке пронумерованы узлы, важно лишь не менять эту нумерацию в процессе расчета 4

Модель сильной связи Слагаемое, описывающее потенциальную энергию электронов, локализованных на узлах: Действие каждого из них не приводит к изменению волновой функции: Кинетическое слагаемое гамильтониана приводит к появлению в гамильтоновой матрице недиагональных слагаемых: Если в одномерной цепочке нечетное количество частиц, то знак матричного элемента перескока будет всегда одинаков, как если бы не было антисимметрии 5

Модель сильной связи Слагаемое, описывающее потенциальную энергию электронов, локализованных на узлах: Действие каждого из них не приводит к изменению волновой функции: Кинетическое слагаемое гамильтониана приводит к появлению в гамильтоновой матрице недиагональных слагаемых: Если в одномерной цепочке нечетное количество частиц, то знак матричного элемента перескока будет всегда одинаков, как если бы не было антисимметрии 6

Модель сильной связи без взаимодействия Фурье-представление: Гамильтониан в этом представлении диагонален – импульсное представление является в данной задаче собственно энергетическим Полная энергия системы: Отрицательный знак матричных элементов перескока выбран из удобства описания спектра системы в импульсном пространстве; такая возможность выбора знака обусловлена справедливостью следующего свойства модели сильной связи: спектр системы не меняется при изменении знака перед амплитудой перескока в случае приближения ближайших соседей 7

Модель сильной связи без взаимодействия Одномерный случай: Зона проводимости: ширина зоны пропорциональна вероятности перескока. При увеличении концентрации электронов зона будет последовательно заполняться в соответствии с принципом Паули, так что заняты будут все состояния ниже некоторого максимального энергетического уровня, называемого уровнем Ферми При учете взаимодействия между частицами точного аналитического решения получить, как правило, не удается 8

Пример. Одномерная цепочка Одномерная периодическая цепочка из 6 узлов с 3 частицами В системе 6 разрешенных одночастичных уровней энергии: Энергия основного состояния: Первое возбужденное состояние: Первое возбужденное состояние четырехкратно вырождено 9

Пример. Одномерная цепочка 10

Пример. Одномерная цепочка 11 Первое возбужденное состояние четырехкратно вырождено