Уравнение Шредингера. Бесконечная потенциальная яма. Конечная потенциальная яма 1.3. Квантовые одночастичные задачи. Потенциальная яма

Уравнение Шредингера Квантово-механическая задача о движении частицы в потенциальном поле. Нестационарное уравнение Шредингера: Для независящего от времени потенциала: Стационарное уравнение Шредингера: Число собственных значений и функций гамильтониана может быть конечным и бесконечным; собственные значения могут быть дискретными (дискретный спектр) или непрерывными (непрерывный спектр), некоторые значения могут совпадать (вырожденные состояния). Состояние с наименьшей энергией называется основным состоянием системы 2

Бесконечная потенциальная яма Гамильтониан системы: Безразмерная система единиц: Решение уравнения Шредингера существует только внутри ямы: Трехточечная аппроксимация: 3

Бесконечная потенциальная яма Ортонормированный базис: Любая волновая функция может быть разложена по базисным функциям: Задача сводится к системе линейных уравнений: 4

Бесконечная потенциальная яма Процесс перехода к собственному базису называется диагонализацией гамильтоновой матрицы. Результатом процедуры диагонализации будет вектор-столбец собственных значений гамильтониана, или спектр системы Результатом процедуры диагонализации будет также матрица, состоящая из вектор-столбцов, отвечающих разложению собственных функций по исходному базису: 5

Бесконечная потенциальная яма Первые четыре собственные функции частицы в бесконечной потенциальной яме 6

Бесконечная потенциальная яма Точное аналитическое решение задачи: Сравнение результатов численного расчета с аналитическим решением, n=100 Точное значение энергии Значение энергии, полученное численным расчетом Относительная разница, 7

Конечная потенциальная яма В яме конечной глубины состояния частицы делятся на связанные состояния и состояния непрерывного спектра Собственные волновые функции, отвечающие значениям энергии из непрерывного спектра, за пределами ямы ведут себя как плоские волны: Собственные волновые функции, отвечающие связанным состояниям, за пределами ямы затухают экспоненциально: При численном расчете волновых функций связанных состояний недостаточно ограничиваться лишь размерами ямы, так как волновые функции существуют и за ее пределами 8

Конечная потенциальная яма Спектральная задача: Трехточечная аппроксимация: Гамильтонова матрица: 9

Конечная потенциальная яма Волновые функции частицы в конечной потенциальной яме: 10