Лекция 6. Игры с природой: принятие решений в условиях риска

Критерии оптимальности в условиях риска 6.2. Критерий Ходжа-Лемана 6.3. Критерий Гермейера-Гурвица

Принятие решений в условиях риска Критерии оптимальности в условиях риска: критерий Байеса; критерий Лапласа; критерий максимальной вероятности; критерий Гермейера. 6.1 Принятие решений в условиях риска

4 1.1 Критерий Байеса относительно выигрышей Предположим, что игроку А известны не только состояния П 1, П 2,…П n в которых случайным образом может находиться природа, но и вероятности (q 1, q 2,…q n ) наступления этих состояний, при этом q j = Принятие решений в условиях риска

5 А = ПjАiПjАi П1П1 П2П2 …ПnПn А1А1 a 11 a 12 …a 1n А2А2 a 21 a 22 …a 2n …………… АmАm a m1 a m2 …a mn qjqj q1q1 q2q2 …qnqn Матрицу выигрышей игрока А и вероятности состояний природы П можно представить в виде общей матрицы: 6.1 Принятие решений в условиях риска

Чистую стратегию А i можно определить как случайную величину со следующим законом распределения Математическое ожидание данной случайной величины 6 AiAi a i1 a i2 …a in qq1q1 q2q2 …qnqn Или средне взвешенное выигрышей i-ой строки матрицы А с весами (q 1, q 2,…q n ). 6.1 Принятие решений в условиях риска

7 Критерий Байеса относительно выигрышей позволяет выбрать максимальный из ожидаемых элементов матрицы доходности при известной вероятности возможных состояний природы: 6.1 Принятие решений в условиях риска

8 R = ПjАiПjАi П1П1 П2П2 …ПnПn А1А1 r 11 r 12 …r 1n А2А2 r 21 r 22 … r 2n …………… АmАm r m1 r m2 … r mn qjqj q1q1 q2q2 …qnqn 1.2 Критерий Байеса относительно рисков Матрицу рисков игрока А и вероятности состояний природы П можно представить матрицей: 6.1 Принятие решений в условиях риска

9 Показателем эффективности стратегии А i по критерию Байеса относительно рисков является математическое ожидание рисков, расположенных в i-ой строке матрицы R. 6.1 Принятие решений в условиях риска

10 Критерий Байеса относительно рисков позволяет выбрать минимальное значение из средних рисков при известной вероятности возможных состояний природы: Критерии Байеса относительно выигрышей и относительно рисков эквивалентны, то есть по обоим критериям оптимальной будет одна и та же стратегия. 7.1 Принятие решений в условиях риска

Критерий Лапласа относительно выигрышей Вероятность состояний природы оценивается субъективно как равнозначные. q j = n -1 q j = n -1 = 1 Этот принцип называется – принцип недостаточного основания Лапласа. 6.1 Принятие решений в условиях риска

12 А = ПjАiПjАi П1П1 П2П2 …ПnПn А1А1 a 11 a 12 …a 1n А2А2 a 21 a 22 … a 2n …………… АmАm a m1 a m2 … a mn qjqj q 1 =n -1 q 2 =n -1 …q n =n -1 Имеется игра с природой, в которой игрок А обладает m чистыми стратегиями А i, природа П может случайным образом находиться в одном из n своих состояний П j, а матрица выигрышей игрока А задается следующим образом: 6.1 Принятие решений в условиях риска

13 Показателем эффективности чистой стратегии А i по критерию Лапласа относительно выигрышей является среднеарифметическое выигрышей при этой стратегии. 6.1 Принятие решений в условиях риска

14 Критерий Лапласа относительно выигрышей предполагает выбор варианта стратегии с максимальной ожидаемой доходностью при равной вероятности наступления возможных стратегий природы. 6.1 Принятие решений в условиях риска

Критерий Лапласа относительно рисков R = ПjАiПjАi П1П1 П2П2 …ПnПn А1А1 r 11 r 12 …r 1n А2А2 r 21 r 22 …r 2n …………… АmАm r m1 r m2 …r mn qjqj q 1 =n -1 q 2 =n -1 …q n =n -1 Матрицу рисков игрока А и вероятности состояний природы П при критерии Лапласа относительно рисков можно представить матрицей: 6.1 Принятие решений в условиях риска

16 Показателем неэффективности чистой стратегии А i по критерию Лапласа относительно рисков является среднеарифметическое рисков при этой стратегии. 6.1 Принятие решений в условиях риска

17 Критерий Лапласа относительно рисков предполагает выбор варианта стратегии с минимальным риском при равной вероятности наступления возможных состояний природы. 6.1 Принятие решений в условиях риска

18 3. Критерий максимальной вероятности Рассмотрим игру с природой размера m x n, где m 2 и n 2. Известны вероятности q j состояний природы П j 6.1 Принятие решений в условиях риска Максимальная вероятность обозначается следующим образом:

19 Максимальную вероятность может иметь не одно состояние природы. А также максимальное значение может быть у всех состояний природы при равных вероятностях q j = n Принятие решений в условиях риска Предположим, что состояния природы П jκ, κ = 1,2,…σ, где σ – это номер состояний природы (столбцы), имеющих максимальную вероятность.

20 Показателем эффективности чистой стратегии А i по критерию максимальной вероятности относительно выигрышей, является наибольший выигрыш из выигрышей при этой стратегии и при состояниях природы П jκ κ = 1,2,…σ, имеющих максимальную вероятность q max. 6.1 Принятие решений в условиях риска

21 А = ПjАiПjАi Пj1Пj1 Пj2Пj2 …П jσ А1А1 a 1j1 a 1j2 …a 1jσ А2А2 a 2j1 a 2j2 … a 2jσ ……………… АmАm a mj1 a mj2 … a mjσ q jκ q j1 = q max q j2 = q max …q jσ = q max В связи с этим рассматривается матрица m x σ, которая получается путем исключения тех столбцов, у которых вероятности ниже максимального значения. 6.1 Принятие решений в условиях риска

Принятие решений в условиях риска Ценой игры (Q p ) по критерию максимальной вероятности относительно выигрышей будет наибольший элемент из показателей эффективности

23 Тип товара Спрос П1П1 П2П2 П3П3 А1А А2А А3А Пример: Найти оптимальную стратегию по критерию максимальной вероятности относительно выигрышей при вероятностях состояний природы q 1 = 0,2; q 2 = 0,3; q 3 = 0, Принятие решений в условиях риска

24 Решение: Находим максимальную вероятность Тип товараП3П3 А1А1 10 А2А2 14 А3А3 15 qjqj 0,5 Q p = 15 Максимальной вероятности соответствует состояние природы П 3, следовательно матрица примет следующий вид Ответ: оптимальной стратегией по критерию максимальной вероятности относительно выигрышей является стратегия А Принятие решений в условиях риска

25 4. Критерий Гермейера относительно выигрышей А = ПjАiПjАi П1П1 П2П2 …ПnПn А1А1 a 11 a 12 …a1na1n А2А2 a 21 a 22 … a 2n …………… АmАm a m1 a m2 … a mn qjqj q1q1 q2q2 …qnqn Рассмотрим игру с природой размера (m 2) и (n 2) с матрицей выигрышей А 6.1 Принятие решений в условиях риска

Принятие решений в условиях риска По критерию Гермейера (А G ) эффективность чистых стратегий определяется следующим образом: Выбрав чистую стратегию A i, игрок А может получить выигрыш a ij, если природа окажется в состоянии П j. Но при этом природа может оказаться в этом состоянии с вероятностью q j = p(П j ). Поэтому игрок А может получить свой выигрыш (a ij ) только с вероятностью q j. В связи с этим рассматривается так называемый элемент Гермейера для этого выигрыша – a ij q j. 6.1 Принятие решений в условиях риска

27 А G = ПjАiПjАi П1П1 П2П2 …ПnПn А1А1 a 11 q 1 a 12 q 2 …a 1n q n А2А2 a 21 q 1 a 22 q 2 … a 2n q n …………… АmАm a m q 1 a m2 q 2 … a mn q n qjqj q1q1 q2q2 …qnqn Матрица Гермейера состоит из элементов Гермейера и выглядит следующим образом: 6.1 Принятие решений в условиях риска

28 При выборе стратегии игрок А предполагает, что природа будет находиться в самом неблагоприятном для него состоянии, при котором элемент Гермейера будет являться самым минимальным среди всех элементов матрицы Гермейера соответствующие выбранной стратегии. Этот элемент называется показателем эффективности чистой стратегии А i по критерию Гермейера относительно выигрышей: 6.1 Принятие решений в условиях риска

29 Ценой игры в чистых стратегиях по критерию Гермейера относительно выигрышей является максимальное значение среди показателей эффективности чистой стратегии А i по критерию Гермейера относительно выигрышей: 6.1 Принятие решений в условиях риска

30 Так же ценой игры в чистых стратегиях по критерию Гермейера относительно выигрышей можно назвать максимином матрицы Гермейера относительно выигрышей: 6.1 Принятие решений в условиях риска

31 Тип товара Спрос П1П1 П2П2 П3П3 А1А А2А А3А Пример: Найти оптимальную стратегию по критерию Гермейера относительно выигрышей при вероятностях состояний природы q 1 = 0,2; q 2 = 0,3; q 3 = 0, Принятие решений в условиях риска

32 Решение: Тип товара Спрос П1П1 П2П2 П3П3 А1А1 44,55 А2А2 3,23,67 А3А3 2,65,47,5 Строим матрицу Гермейера с элементами a ij q j G 1 = min (4; 4,5; 5) = 4; G 2 = min (3,2; 3,6; 7) = 3,2; G 3 = min (2,6; 5,4; 7,5) = 2,6. Ответ: оптимальной стратегией по критерию Гермейера относительно выигрышей является стратегия А 3 Находим минимальный выигрыш игрока А по всем стратегиям по формуле 6.1 Принятие решений в условиях риска

Задача для самостоятельного решения Производитель премиальных кондитерских изделий ежедневно изготавливает и продает от одного до трех эксклюзивных пирогав. Срок годности пирога ограничен: если пирог не продан за один день, его приходится утилизировать (стоимость утилизации 500 руб.). Если спрос на пироги превышает их фактически произведенное количество, недостающие пироги обязательно нужно произвести, но это придется делать в сверхурочное время. При нормальном производственном цикле себестоимость одного пирога составляет 5000 руб., при сверхурочной работе 7000 руб. Все пироги реализуются по цене в руб. Вероятности того, что дневной спрос составит 1, 2 и 3 пирога, равны соответственно 0,4, 0,5 и 0,1. Выбрать оптимальную стратегию производства тортов.

34

Критерий Ходжа-Лемана Критерий Ходжа-Лемана относительно выигрышей А = ПjАiПjАi П1П1 П2П2 …ПnПn А1А1 a 11 a 12 …a1na1n А2А2 a 21 a 22 … a 2n …………… АmАm a m1 a m2 … a mn qjqj q1q1 q2q2 …qnqn Критерий Ходжа-Лемана относительно выигрышей опирается одновременно на критерий Вальда и критерий Байеса.

36 При определении оптимальной стратегии по этому критерию вводится параметр ( λ ) достоверности информации о распределении вероятностей состояний природы q = (q 1, q 2,…,q n ), значение, которого находится в интервале [0, 1]. Если степень достоверности велика, то доминирует критерий Байеса, в противном случае критерий Вальда Критерий Ходжа-Лемана

37 Показателем эффективности чистой стратегии А i по критерию Ходжа-Лемана относительно выигрышей (HL) является: HL i = λB i (q) + (1 – λ)W i, i = 1,2,…,m 6.2. Критерий Ходжа-Лемана

38 где B i (q) – показатель эффективности стратегии А i по критерию Байеса относительно выигрышей с вектором q = (q 1, q 2,…,q n ) распределения вероятностей состояний природы, который определяется по формуле: W i – показатель эффективности стратегии А i по критерию Вальда, который определяется по формуле: 6.2. Критерий Ходжа-Лемана

39 При любом показателе доверия игрока А распределению вероятностей q = (q 1, q 2,…,q n ) состояний природы показатель эффективности стратегии А i по критерию Ходжа-Лемана (HL i ): HL i Wi HL i Bi 6.2. Критерий Ходжа-Лемана

40 Ценой игры в чистых стратегиях по критерию Ходжа-Лемана относительно выигрышей является максимальное значение среди показателей эффективности чистой стратегии А i по критерию Ходжа-Лемана относительно выигрышей: 6.2. Критерий Ходжа-Лемана

41 Критерий Ходжа-Лемана применим в следующих случаях: имеется информация о вероятностях состояний окружающей среды, однако эта информация получена на основе относительно небольшого числа наблюдений и может измениться; принятое решение теоретически допускает бесконечно много реализаций; при малом числе реализации допускается некоторый риск Критерий Ходжа-Лемана

42 Тип товара Спрос П1П1 П2П2 П3П3 А1А А2А А3А Пример: Найти оптимальную стратегию по критерию Ходжа-Лемана относительно выигрышей при λ = 0,6 и при вероятностях состояний природы q 1 = 0,2; q 2 = 0,3; q 3 = 0, Критерий Ходжа-Лемана

43 Решение: Вычислим средние выигрыши по критерию Байеса По критерию Вальда (W i ) W 1 = 10; W 2 = 12; W 3 = 13 Найдем оптимальную стратегию по критерию Ходжа-Лемана по формуле HL i = λB i (q) + (1 – λ)W i, i = 1,2,…,m HL 1 = (0,6 13,5) + (1 - 0,6) 10 = 8,1 + 4 = 12,1 HL 2 = (0,6 13,8) + (1 – 0,6) 12 = 8,28 + 4,8 = 13,08 HL 3 = (0,6 15,5) + (1 – 0,6) 13 = 9,3 + 5,2 = 14,5 HL =max( λB i (q) + (1 – λ)W i ) = max(12,1; 13,08; 14,5) = 14,5 Ответ: оптимальной стратегией по критерию Ходжа-Лемана относительно выигрышей является стратегия А Критерий Ходжа-Лемана

44 Критерий Ходжа-Лемана относительно рисков Критерий Ходжа-Лемана относительно рисков опирается одновременно на критерий Байеса и критерий Сэвиджа. R (HL) = ПjАiПjАi П1П1 П2П2 …ПnПn А1А1 r 11 r 12 …r 1n А2А2 r 21 r 22 … r 2n …………… АmАm rmrm r m2 … r mn qjqj q1q1 q2q2 …qnqn 6.2. Критерий Ходжа-Лемана

45 Показателем неэффективности чистой стратегии А i по критерию Ходжа-Лемана относительно рисков (HL r ) является: 6.2. Критерий Ходжа-Лемана

46 где B i (q) – показатель неэффективности стратегии А i по критерию Байеса относительно рисков с вектором q = (q 1, q 2,…,q n ) распределения вероятностей состояний природы, который определяется по формуле: S i – показатель неэффективности стратегии А i по критерию Сэвиджа с вектором q = (q 1, q 2,…,q n ) распределения вероятностей состояний природы, который определяется по формуле: 6.2. Критерий Ходжа-Лемана

47 Ценой игры в чистых стратегиях по критерию Ходжа-Лемана относительно рисков является минимальное значение среди показателей неэффективности чистой стратегии А i по критерию Ходжа-Лемана относительно рисков: 6.2. Критерий Ходжа-Лемана

48 Критерии оптимальности чистых стратегий по критерию Ходжа-Лемана относительно выигрышей и относительно рисков не эквивалентны Критерий Ходжа-Лемана

49 Тип товара Спрос П1П1 П2П2 П3П3 А1А А2А А3А Пример: Найти оптимальную стратегию по критерию Ходжа-Лемана относительно рисков при λ = 0,6 и при вероятностях состояний природы q 1 = 0,2; q 2 = 0,3; q 3 = 0, Критерий Ходжа-Лемана

50 Решение: Построим матрицу рисков. Тип товара Спрос П1П1 П2П2 П3П3 А1А1 035 А2А2 461 А3А3 700 Найдем критерий Байеса относительно рисков S 1 = 5; S 2 = 6; S 3 = 7Найдем критерий Сэвиджа Найдем оптимальную стратегию по критерию Ходжа-Лемана относительно рисков: HL r = min (4,04; 4,26; 3,64) = 3,64 HL r 1 = (0,6 3,4) + (1 – 0,6) 5 = 2, = 4,04 HL r 2 = (0,6 3,1) + (1 – 0,6) 6 = 1,86 + 2,4 = 4,26 HL r 3 = (0,6 1,4) + (1 – 0,6) 7 = 0,84 + 2,8 = 3,64 Ответ: оптимальной стратегией по критерию Ходжа-Лемана относительно рисков является стратегия А Критерий Ходжа-Лемана

Критерий Гермейера-Гурвица Критерий Гермейера-Гурвица относительно выигрышей Данный критерий представляет собой критерий Гурвица относительно матрицы Гермейера. А G = ПjАiПjАi П1П1 П2П2 …ПnПn А1А1 a 11 q 1 a 12 q 2 …a 1n q n А2А2 a 21 q 1 a 22 q 2 … a 2n q n …………… АmАm a m q 1 a m2 q 2 … a mn q n qjqj q1q1 q2q2 …qnqn При этом если 0 λ 1, то λ это показатель оптимизма игрока А, тогда показателем пессимизма игрока будет 0 (1 – λ) 1.

52 Показателем эффективности чистой стратегии А i по критерию Гермейера-Гурвица относительно выигрышей (GH) является: GH i = (1 – λ) G i + λ M i, i = 1,2,…,m 6.3. Критерий Гермейера-Гурвица

53 где G i – показатель эффективности стратегии А i по критерию Гермейера относительно выигрышей с вектором q = (q 1, q 2,…,q n ) распределения вероятностей состояний природы, который определяется по формуле: M i – показатель эффективности стратегии А i по критерию Гурвица, относительно матрицы Гермейера, который определяется по формуле: 6.3. Критерий Гермейера-Гурвица

54 Ценой игры в чистых стратегиях по критерию Гермейера-Гурвица относительно выигрышей является максимальное значение среди показателей эффективности чистой стратегии А i по критерию Гермейера-Гурвица относительно выигрышей: GH = max ((1 – λ) G i + λ M i ), i = 1,2,…,m 6.3. Критерий Гермейера-Гурвица

55 Тип товара Спрос П1П1 П2П2 П3П3 А1А А2А А3А Пример: Найти оптимальную стратегию по критерию Гермейера- Гурвица относительно выигрышей при λ = 0,6 и при вероятностях состояний природы q 1 = 0,2; q 2 = 0,3; q 3 = 0, Критерий Гермейера-Гурвица

56 Строим матрицу Гермейера с элементами a ij q j Тип товара Спрос П1П1 П2П2 П3П3 А1А1 44,55 А2А2 3,23,67 А3А3 2,65,47,5 Находим минимальный выигрыш игрока А по всем стратегиям по формуле G 1 = min (4; 4,5; 5) = 4; G 2 = min (3,2; 3,6; 7) = 3,2; G 3 = min (2,6; 5,4; 7,5) = 2,6. Находим максимальный выигрыш игрока А по всем стратегиям по формуле М 1 = max (4; 4,5; 5) = 5 М 2 = max (3,2; 3,6; 7) = 7 М 3 = max (2,6; 5,4; 7,5) = 7, Критерий Гермейера-Гурвица Решение:

57 Найдем критерии Гермейера-Гурвица относительно выигрышей по каждой стратегии по формуле: GH i = (1 – λ) G i + λ M i GH 1 = (1 – 0,6) 4 + 0,6 5 = 1,6 + 3 = 4,6 GH 2 = (1 – 0,6) 3,2 + 0,6 7 = 1,28 + 4,2 = 5,48 GH 3 = (1 – 0,6) 2,6 + 0,6 7,5 = 5,54 Найдем критерий Гермейера-Гурвица для данной задачи GH = max ((1 – λ) G i + λ M i ) GH = max (4,6; 5,48; 5,54) = 5,54 Ответ: оптимальной стратегией по критерию Гермейера- Гурвица относительно выигрышей является стратегия А Критерий Гермейера-Гурвица

Критерий Байеса Критерий Лапласа