Дифференциальные уравнения Представление дисциплины

2 Общие сведения по дисциплине Название - Дифференциальные уравнения Читается для специальностей Математическое обеспечение и администрирование информационных систем; Сети связи и системы коммутации. Важность изучения дисциплины Дифференциальные уравнения лежат в основе математических моделей реальных явлений, используются как в моделировании экономических и социальных процессов, так и в инженерно-технических приложениях. Сфера профессионального использования Дисциплина предназначена для студентов, аспирантов, преподавателей вузов, научных сотрудников, инженеров, программистов и других специалистов, использующих в своей деятельности дифференциальные уравнения и математические модели на их основе.

3 Краткое описание дисциплины Курс посвящен изучению методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Под дифференциальными уравнениями понимают соотношения, связывающие функцию, ее производные и независимую переменную.

4 Цели и задачи преподавания дисциплины Основной целью дисциплины является формирование у студентов знаний основ теории обыкновенных дифференциальных уравнений в объёме, достаточном для применения в специальных дисциплинах, читаемых студентам университета, а также подготовки студентов к самостоятельному овладению математическими знаниями, в частности, теории обыкновенных дифференциальных уравнений, по мере потребности в них. Основными задачами дисциплины являются освоение математического аппарата теории обыкновенных дифференциальных уравнений, необходимого для решения теоретических и практических задач применения дисциплины, а также развитие логического мышления, позволяющего математически формулировать решаемые задачи и решать их.

5 Место дисциплины среди смежных дисциплин Данная дисциплина требует предварительного изучения курсов математического анализа, линейной алгебры В то же время дисциплина является одной из базовых дисциплин для дисциплины «Уравнения математической физики».

6 Начальные знания Для успешного освоения курса требуется знание основ математического анализа и линейной алгебры в объеме, предусмотренном для соответствующих специальностей.

7 Итоговые знания, умения и навыки В результате изучения дисциплины студенты должны иметь ПРЕДСТАВЛЕНИЯ: об основных теоремам теории обыкновенных дифференциальных уравнений (теоремы существования и единственности решения, теоремы о непрерывной зависимости решения от начальных данных и параметров), представлять специфику задач решаемых с помощью теории дифференциальных уравнений. В результате изучения дисциплины студенты должны получить ЗНАНИЯ: основным понятий теории обыкновенных дифференциальных уравнений и основных методов их интегрирования. В результате изучения дисциплины студенты должны приобрести УМЕНИЯ И НАВЫКИ: решать уравнения первого и высших порядков интегрируемые в квадратурах, интегрировать линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами и системы линейных дифференциальных уравнений, уметь доказывать изучаемые теоремы.

8 Содержание лекционного курса Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. Глава 2. Дифференциальные уравнения высших порядков. Глава 3. Системы дифференциальных уравнений.

9 Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка В первой главе были введены основные понятия теории дифференциальных уравнений: дифференциального уравнения, порядка дифференциального уравнения, общего и частного решения, поля направлений, дана геометрическая интерпретация дифференциального уравнения первого порядка. Рассмотрена задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка, теорема существования и единственности ее решения, дифференциальные свойства ее решений. Приведены основные виды дифференциальных уравнений первого порядка: неполных, с разделяющимися переменными, однородных, линейных. Для каждого вида дифференциальных уравнений изложены методы нахождения их решений.

10 Глава 2. Дифференциальные уравнения высших порядков Во второй главе рассмотрены основные понятия теории дифференциальных уравнений высших порядков, общая теория линейных дифференциальных уравнений высших порядков. Изложены методы решения основных видов неполных дифференциальных уравнений второго порядка. Подробно разобраны основные свойства решений линейных дифференциальных уравнений, структура общих решений линейных однородных и неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков. Рассмотрены основные типы фундаментальных систем решений линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Изложены три различных метода нахождения частных решений линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков: метод неопределенных коэффициентов, метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа), метод импульсной функции (метод Коши).

11 Глава 3. Системы дифференциальных уравнений В третьей главе рассмотрены основные понятия теории систем дифференциальных уравнений первого порядка, общая теория линейных систем дифференциальных уравнений первого порядков, методы решения линейных однородных и неоднородных нормальных систем дифференциальных уравнений первого порядка. Изучены основные свойства решения линейных систем дифференциальных уравнений. Описаны способы составления фундаментальной матрицы системы, и методы нахождения общих решений линейных однородных и неоднородных систем дифференциальных уравнений первого порядка. Рассмотрены методы решения задач Коши в матричной форме. Также рассмотрены основные понятия теории устойчивости систем дифференциальных уравнений первого порядка: устойчивость по Ляпунову, асимптотическая устойчивость, точки покоя. Описаны основные типы точек покоя линейных систем дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами и их устойчивость.

12 Лабораторный практикум не предусмотрен

13 Контрольные мероприятия Предварительный контроль Самостоятельные работы Текущий контроль Контрольные работы Итоговый контроль Экзамен

14 Глоссарий Задача Коши – это задача нахождения частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданным начальным условиям. Интегральная кривая – это график решения данного дифференциального уравнения. Начальное условие – это заданное значение искомой функции в некоторой точке. Общее решение – это такое решение дифференциального уравнения, которое зависит от нескольких произвольных постоянных. Общий интеграл – это общее решение дифференциального уравнения первого порядка, записанное в неявной форме Обыкновенное дифференциальное уравнение – это соотношение, связывающее неизвестную функцию одной переменной, ее производные и независимую переменную. Особая точка дифференциального уравнения первого порядка - это точка плоскости, в которой не выполняются условия теоремы существования и единственности решения соответствующей задачи Коши. Особое решение - это решение дифференциального уравнения, в каждой точке которого нарушается условие единственности. Порядок дифференциального уравнения - это порядок старшей производной, входящей в данное дифференциальное уравнение.

15 Список литературы Основная Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Эдиториал, Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. М.: Наука, Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М., «Наука»,1970. Бибиков Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высш. Шк., Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. М., «Высшая школа», Арнольд В.И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., «Наука», Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М., «Наука», Матвеев Н.М. Сборник задач и упражнений по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Минск, «Высшая школа», Дополнительная Гусак А.А. Справочное пособие к решению задач: математический анализ и дифференциальные уравнения. Минск: Тетра системс, Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М., ГИТТЛ, Федорюк М.В. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., «Наука», Еругин Н.П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Минск, «Наука и техника», Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М., «Мир», Самойленко A.M. и др. Дифференциальные уравнения. Примеры и задачи. М., «Высшая школа»,1989.

16 Самостоятельная работа Список вопросов для самоподготовки к экзамену 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Общее и частное решения. 2. Задача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. 3. Дифференциальные свойства решений дифференциальных уравнений первого порядка. 4. Неполные дифференциальные уравнения первого порядка. 5. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными. 6. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка. 7. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. 8. Основные понятия теории дифференциальных уравнений высших порядков. 9. Случаи понижения порядка. Неполное дифференциальное уравнение n-ого порядка, правая часть которого зависит только от x 10. Неполное дифференциальное уравнение 2-ого порядка, правая часть которого содержит только у. 11. Неполное дифференциальное уравнение 2-ого порядка, правая часть которого явно не содержит у. 12. Неполное дифференциальное уравнение 2-ого порядка, правая часть которого явно не содержит х. 13. Линейные однородные и неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков, их операторная форма. 14. Основные свойства решений линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 15. Фундаментальная система решений. Определитель Вронского. 15. Структура общих решений линейных дифференциальных уравнений высших порядков. 16. Основные типы фундаментальных систем решений линейных дифференциальных уравнения с постоянными коэффициентами. 17. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. 18. Уравнение Эйлера. 19. Метод неопределенных коэффициентов. 20. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа). 21. Метод импульсной функции (метод Коши). 22. Основные понятия теории систем дифференциальных уравнений. 23. Связь нормальной системы n уравнений и дифференциального уравнения n-ого порядка и метод исключений. 24. Линейные однородные и неоднородные системы дифференциальных уравнений первого порядка и свойства их решений. 25. Фундаментальная матрица и структура решений линейных систем. 26. Решение задачи Коши для линейной однородной системы. 27. Решение задачи Коши для линейной неоднородной системы. 28. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами. Метод Эйлера. 29. Понятие устойчивости решений. 30. Понятие точки покоя нормальной системы. 31. Классификация точек покоя линейной системы с постоянными коэффициентами.