1 Теория и практика программирования задач на ЭВМ

2 Содержание курса Введение в численные методы Методы решения СЛАУ Исчисление конечных разностей Задача интерполяции Интерполяционный многочлен Лагранжа Интерполяционный многочлен Ньютона Сплайн-интерполяция Метод наименьших квадратов Численное дифференцирование Численное интегрирование: Методы прямоугольника Метод трапеции Метод парабол (метод Симпсона) Введение в Matlab Примеры программной реализации

3 Список литературы 1. Формалев В.Ф., Ревизников Д.Л. Численные методы. – М.: ФИЗМАТЛИТ, Руководство MATLAB 3. А.А.Самарский, А.В.Гулин. Численные методы М.: Наука, А.А.Самарский. Введение в численные методы М.: Наука, Петров И.Б., Лобанов А.И. Введение в вычислительную математику.

4 Введение в численные методы Первое применение вычислительных методов принадлежит древним египтянам, которые умели вычислять диагональ квадрата за конечное количество действий. Они также могли находить квадратный корень из 2, скорее всего, с помощью алгоритма, в дальнейшем получившего название формулы Герона, а еще позднее метода Ньютона: u k+1 =1/2(u k +2/u k ), u 0 =a Пример. Решается задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка: u''(t) = u(t), u(0) = 1, u'(0) = - 1. Общее решение имеет вид u(t) = 0,5[u(0) + u'(0)]e t + 0,5[u(0) - u'(0)]e - t. При заданных начальных данных точное решение задачи: u(x) = e -t, однако малая погрешность δ в их задании приведет к появлению члена δe -t, который при больших значениях аргумента может существенно исказить решение.

5 Определение: Погрешность измерения оценка отклонения измеренного значения величины от её истинного значения. Погрешность измерения является характеристикой (мерой) точности измерения.

6 Определение: Абсолютная погрешность измерения (англ. absolute error of a measurement) – погрешность измерения, выраженная в единицах измеряемой величины.

7 Определение: Относительное удлинение - это отношение приращенной в результате растяжения длины к первоначальной длине образца, выраженное в процентах

8 Определение: Относительная погрешность измерения (англ. relative error) – погрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к действительному или измеренному значению измеряемой величины. Примечание. Относительную погрешность в долях или процентах находят из отношений:

9 Численное решение систем линейных алгебраических уравнений Пусть дана система линейных алгебраических уравнений (СЛАУ): После (n-1)-го шага алгоритма Гаусса получаем следующую расширенную матрицу с контрольными суммами, содержащую верхнюю треугольную матрицу СЛАУ

10 Пример. Методом Гаусса решить СЛАУ:

11 Теория приближений (1)

12 Исчисление конечных разностей

13 Задача интерполяции

14 Интерполяционный многочлен Лагранжа

15 Интерполяционный многочлен Ньютона В случае равноудаленных центров интерполяции, находящихся на единичном расстоянии друг от друга, справедлива формула:

16 Сплайн-интерполяция

17 Кубический сплайн

18 Метод наименьших квадратов

19 Численное дифференцирование

20

21 Численное интегрирование Впервые разработал И. Ньютон. Численное интегрирование основано на том, что функция заменяется интерполяционным многочленом: F(x)=Р(х) Р(х)=a 0 +a 1 x 1 +a 2 x 2 +…+a n x n (строится по точкам, то есть P(x i )=F(x i )

22 Применение численных методов Т.к. не все функции интегрируются аналитическими способами, то приходится применять численные методы. Функция y=F(x) заменяется интерполяционным многочленом P(x), который в точках x i равен значению функции P(x i )=F(x i )

23 Геометрическая интерпретация Интеграл – площадь криволинейной (подынтегральной) трапеции, одной из боковых сторон которой является кривая У= F(x) a b x у

24 Методы интегрирования В зависимости от степени интерполяционного многочлена выбираются различные методы интегрирования, в частности Методы прямоугольника 1. Слева 2. Справа Метод трапеции Метод парабол (метод Симпсона)

25 Метод прямоугольника Для методов прямоугольника выбирается интерполяционный многочлен 0-порядка Р(х)=a 0

26 Метод прямоугольника слева Р(х 0 )=у 0 Для метода прямоугольника слева интерполяционный многочлен Р(х i )=у i x y x0x0 ab x1x1 x2x2 xnxn у 1 у 1 у 0 у 0 у 2 у 2

27 Метод прямоугольника слева x y x0x0 ab x1x1 x2x2 xnxn у 1 у 1 у 0 у 0 у 2 у 2

28 Метод прямоугольника слева На отрезке [a, b] интеграл будет равен площади n-прямоугольников Интеграл слева вычисляется по формуле:

29 R n - погрешность где R n - погрешность, которая вычисляется по формуле:

30 Метод прямоугольника справа Р(х 0 )=у 1 Для метода прямоугольника справа интерполяционный многочлен Р(х i )=у i+1 x y x0x0 ab x1x1 x2x2 xnxn y1y1 y2y2 ynyn

31 Метод прямоугольника слева x y x0x0 ab x1x1 x2x2 xnxn y1y1 y2y2 ynyn

32 Метод прямоугольника справа На отрезке [a, b] интеграл будет равен площади n-прямоугольников: Интеграл справа вычисляется по формуле:

33 R n - погрешность где R n - погрешность, которая вычисляется по формуле:

34 Метод трапеций x y x0x0 ab x1x1 x2x2 xnxn

35 Метод трапеций Для метода трапеций выбирается интерполяционный многочлен 1-порядка F(x)=P(x) =a 0 +а 1 х и нам известно, что F(x 0 )=y 0, F(x 1 )=y 1 Построим интерполяционный многочлен

36

37 Интеграл по методу трапеции Таким образом, интеграл, вычисляемый по методу трапеции на отрезке [a, b] равен: x y b

38 Rn – погрешность где Rn – погрешность для метода трапеций, вычисляемая по формуле:

39 Метод Симпсона (парабол). у 2 у 2 у 0 у 0 у 1 у 1 x y x0x0 ab x1x1 x2x2 xnxn

40 Метод Симпсона (парабол) Для этого метода промежуток разбиваем на чётное количество частей и считаем, что нам известны 3 точки: y 0 =F(x 0 ) y 1 =F(x 1 ) y 2 =F(x 2 ) у 2 у 2 у 0 у 0 у 1 у 1 x y x0x0 ab x1x1 x2x2 xnxn

41 Метод Симпсона (парабол)

42 Метод Симпсона (парабол) Убедимся в том, что P(x 2 )=F(x 2 ): Заметим, что x 2 =x 0 +2h P(x)=y 0 +2y 1 -2y 0 +y 2 -2y 1 +y 0 =y 2

43 Метод Симпсона (парабол) На отрезке [x0, x0+2h] интеграл вычисляется по формуле:

44 Интеграл для метода Симпсона на отрезке [a, b] вычисляется по формуле:

45 Rn – погрешность где Rn – погрешность, вычисляемая по формуле:

46

47 Работа с матрицами в среде MatLab

48

49 Оператор двоеточия

50 Автоматическое создание матриц zeros – нулевая матрица rand – двумерное равномерное распределение randn – двумерное нормальное распределение ones- матрица, состоящая из единиц

51 Удаление строк и столбцов

52 Команда format

53 Выражения Переменные Числа Операторы функции

Несколько специальных функций предоставляют значения часто используемых констант. 54

55 Метод наименьших квадратов

56 Кубическая интерполяция

57 Метод Симпсона #include using namespace std; double FX(double x){ return x+exp(x); } void main(){ double a,b; couta>>b; cout

58 Метод прямоугольников double f(double x){ return sin(x); } double rectangle_integrate(double a, double b, int n, double (*f)(double) ){ double result, h; int i; h = (b-a)/n; result = 0.0; for(i=1; i

59 Метод трапеций double INTEGR(double x){ return x*exp(x)+log(x)+1;} double trapez(double left, double right, double h){ double sum = 0; double runner; for(runner = left + h; runner < right; runner += h) sum += INTEGR(runner); sum = (sum + 0.5*(INTEGR(left) + INTEGR(right))) * h; return sum;} int main(int argc, char ** argv){ char c; double a, b; double h; printf("vvedit nizniy mezu integr : "); scanf("%lf",&a); printf("vvedit verhniy mezu integr : "); scanf("%lf",&b); printf("Enter integration step : "); scanf("%lf",&h); double trap = trapez(a, b, h); printf("vidpovid za metodom trapezii %10.10f.\n", trap); scanf("%c",&c);scanf("%c",&c); return 0; } Ответ: MATLAB x=1:0.1:5; y=x.*exp(x)+log(x)+1; trapz(x,y) ans =